Heißt es den ein oder anderen oder dem ein oder anderem. Beispiel: Es interessiert den/dem ein oder anderen/anderem?

nichts von beiden. Es heißt korrekt: den Einen oder Anderen ( wenn es eine Person betrifft und nach dem Wort nichts weiter steht  Beispiel: den Einen oder Anderen kennen-  klein geschrieben,  wenn da noch ein Wort steht auf das sich der eine oder andere bezieht. Beispiel: den einen oder anderen Ort besuchen )

Dem Einen oder Anderen etwas geben ..... ist auch möglich.

Kommt auf den Bezug an.

Es heißt: "es interssiert den einen oder anderen"