Hat jemand eine Lösung für diese Kombinatorik aufgabe?
Hallo ich bräuchte Hilfe bei dieser Matheaufgabe
In einer Schulklasse gibt es 28 Kinder. Sie wurden befragt, welche Sportarten sie betreiben. 20 gaben an, Fußball zu spielen, 15 gehen zum Handball und 8 spielen Schach. 13 Kinder gehen regelmäßig zum Fußball und zum Handball. Nur 6 Fußballer spielen auch Schach. Nur zum Handball und zum Schach geht niemand, aber genau 5 Schüler gehen zu allen 3 Clubs.
A) wie viele Schüler gehen wenigstens zu einem dieser Sportclubs
B) wie viele Kinder sind Mitglied in genau zwei Sportclubs
C) wie viele Kinder betreiben zwei Sportarten
D) wie viele Kinder sind höchstens in zwei Sportclubs Mitglied
1 Antwort
Vorbemerkungen:
- Damit die Aufgabe eindeutig lösbar ist, wird davon ausgegangen, dass die Begriffe "die Sportart X betreiben", "Mitglied im X-Sportclub sein", "zum X-Club gehen", "X spielen" und "zum X gehen" dieselbe Teilmenge von Schülern der Klasse bezeichnen.
- Damit C) sich von B) unterscheidet, wird C) verstanden als "Wieviele Kinder betreiben mindestens 2 Sportarten?"
Am besten malt man sich zunächst ein Venn-Diagramm zu der Aufgabe.
Bezeichnen wir die Fußballer der Klasse mit F, die Handballer mit H und die Schachspieler mit S. Die Mengen der nicht zu F, H bzw. S gehörenden Schüler der Klasse bezeichnen wir mit FC, HC bzw. SC und statt F ∩ H, F ∩ HC ∩ S etc., also den Schnittmengen, schreiben wir einfach FH, FHCS etc., lassen also das ∩ weg.
Insbesondere ist also z. B. FHCSC die Menge der Schüler der Klasse, die Fußball und weder Handball noch Schach spielen.
Mit |F|, |HS| etc. bezeichnen wir die Anzahl der Elemente (Schüler) von F, HS etc.
Schließlich seien K sei die Menge aller Schüler der Klasse und A, B, C, D die in den Aufgabenteilen A), B), C) und d) gesuchten Mengen.
Dem Venn-Diagramm entnimmt man, dass A = F∪H∪S ist und in die paarweise elementfremden (disjunkten) Teilmengen FHS, FHCS, FHSC, FCHS, FHCSC, FCHSC und FCHCS zerfällt.
Die Angaben der Aufgabe kann man nun kurz wie folgt schreiben:
|K| = 28; |F| = 20; |H| = 15; |S| = 8;
|FH| = 13; |FS| = 6; |FCHS| = 0;
|FHS| = 5.
Dem Venn-Diagramm entnimmt man, dass A = F∪H∪S ist und in die 7 paarweise elementfremden (disjunkten) Teilmengen FHS, FHCS, FHSC, FCHS, FHCSC, FCHSC und FCHCS zerfällt.
Daraus erhält man die Element zunächst die Elementzahlen dieser 7 disjunkten Teilmengen:
|FHS| = 5
|FCHS| = 0
13 = |FH| = |FHS| + |FHSC| = 5 + |FHSC|
⇒ |FHSC| = 13–5 = 8
6 = |FH| = |FHS| + |FHCS| = 5 + |FHCS|
⇒ |FHCS| = 6–5 = 1
|FHCSC| = |F| – |FHS| – |FHCS| – |FHSC| = 20–5–1–8 = 6
|FCHCS| = |S| – |FHS| – |FHCS| – |FCHS| = 8–5–1–0 = 2
|FCHSC| = |H| – |FHS| – |FHSC| – |FCHS| = 15–5–8–0 = 2
Damit ergibt sich für die gesuchten Mengen A, B, C, D:
|A| = |FHS| + |FHCS| + |FHSC| + |FCHS| + |FHCSC| + |FCHSC| + |FCHCS| = 5+1+8+0+6+2+2 = 24
|B| = |FCHS| + |FHCS| + |FHSC| = 0+1+8 = 9
|C| = |B| + |FHS| = 9+5 = 14
|D| = |K| – |FHS| = 28–5 = 23