Hase gegen Schildkröte Paradoxon?
Hase und Schildkrötte rennen um die Wette, dabei hat die Schildkröte 10 Meter Vorsprung, bei einem 100 Meter Lauf. Man weiß, dass der Hase natürlich gewinnen wird da er ein vielfaches schneller als die Schildkröte ist. Doch folgendes verwirrt mich: Wenn der Hase bei den 10 Metern Vorsprung der Schildkröte angekommen ist, ist die Schildkröte ja schon ein Stück weiter gelaufen. Wenn der Hase dort angekommen ist, ist sie wieder ein Stück weitergelaufen, und so weiter und so fort. So kann der Hase nicht gewinnen da er immer hinter der Schildkröte hängt. Es klingt Logisch, ist aber natürlich totaler Schwachsinn.
Kann mir jemand erklären, warum die Aussage keinen Sinn ergibt? Ich fühle mich gerade extrem Dumm.
4 Antworten
Dieser Trugschluss, welcher aus dem antiken Griechenland stammt, basiert auf der Annahme, eine Summe mit unendlich vielen Summanden nehme einen unendlich großen Wert an.
Das ist aber falsch. Zu dieser Zeit waren Grenzwerte einfach nicht bekannt.
Die Laufzeit des Hasen lässt sich zwar in unendlich viele Teilstücke zerlegen, deren Summe ist aber nicht unendlich groß, sondern konvergiert ("läuft"/"geht") gegen einen bestimmten Endwert, nach welchem der Hase die Schildkröte dann letztendlich überholt.
Auf solch einer Kenntnis beruht immerhin auch die Integralrechnung. Mit ihrer Hilfe lässt sich u.a. die Fläche unter einem krummlinigen Funktionsgraphen bestimmen, indem sie in unendlich viele kleine Teilstücke zerlegt wird, deren aufsummierte Flächeninhalte letztendlich auch (meistens) gegen einen endlichen Wert streben.
Das Paradoxon besteht darin, daß der Zeitpunkt oder der Ort, an dem der Hase die Schildkröte erreicht ein fester Grenzwert ist, obwohl die Abstände unendlich in immer kleinere Abschnitte unterteilt werden. Mathematisch gesehen kann eine unendliche Reihe einen festen Wert besitzen.
Die zurückgelegte Strecke oder die benötigte Zeit ist aber nicht begrenzt. Daher überholt der Hase an einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Zeit die Schildkröte. Die Zeit geht ja weiter und die Strecke hört nicht irgendwo auf.
Die Strecke, die der Hase bis zum Treffpunkt mit der Schildkröte zurücklegen muß, hat eine endliche Länge. Trotzdem kann man sie auf diese Weise in unendlich viele Teilstücke aufteilen, was aber nichts daran ändert, daß sie bei gleichbleibender Geschwindigkeit in endlicher Zeit zurückgelegt wird.
Dass sich das Argument so logisch anhört, war eins der Ziele Zenons (von dem das Paradoxon stammt).
Such mal im Internet nach
Zenon Paradoxon
es gibt sehr, sehr viele Abhandlungen darüber.