Handelt es sich um eine totale Ordnungsrelation?
Hey,
haben wir z.B. die Relation: R = {(a, b) | a, b ∈ N; a > b}
handelt es sich hier um eine totale Ordnungsrelation?
Ich weiß, dass die Definition für eine totale Ordnung lautet: Jedes Paar von Elementen ist vergleichbar, aber wie wende ich es hier nun an?
Einfach z.B. 5 > 4 aber nicht 4 > 5, somit ist die Relation nicht vergleichbar?
1 Antwort
Man spricht von einer totalen Ordnung, wenn Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität und Totalität erfüllt sind.
Deine Relation R beschreibt alle Paare (a, b) von natürlichen Zahlen, für die gilt, dass a > b.
Wie du schon richtig sagst:
(5, 4) wäre Element von R, da 5 > 4.
(4, 5) wäre jedoch nicht Element von R, da 4 < 5.
Das alleine reicht aber noch nicht, da du die oben genannten Eigenschaften prüfen musst.
Für die Reflexivität gilt:
also
Wenn du dir nun eine natürliche Zahl rausnimmst, ist das offensichtlich nicht erfüllt, da eine Zahl nicht größer als sie selbst ist.
Mit anderen Worten: In deiner Relation müssen immer verschiedene Zahlen sein und nicht dieselben.
Demnach ist R nicht reflexiv und demnach keine totale Ordnungsrelation.
Was heißt denn "vergleichbar"? Das ist ja keine Definition.
Vergleichen kannst du alles, aber unter welchen Kriterien? Was soll am Ende rauskommen?
Definition: (Totale Ordnung). Eine Halbordnungsrelation ≤ in einer Menge A wird totale (lineare) Ordnungsrelation genannt, wenn jedes Paar von Elemente vergleichbar ist.
Ich dachte man spricht von einer Halbordnungsrelation, wenn die Relation Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität ist. Und von einer Ordnungsrelation, wenn jedes Paar von Elementen vergleichbar sind. So wurde es mir wenigstens vermittelt, denn als ich versucht habe nachzuweisen ob es sich um eine Halbordnungsrelation handelt wurde mir gesagt ich solle nicht dies beweisen, sondern ob alle Elemente miteinander vergleichbar sind.