Anzahl der Äquivalenzklassen und Repräsentantensystem?
Aufgabe: Sei A = {1,2,...,6}×{1,2,...,6} die Menge aller Ergebnisse beim Werfen von einem roten und einem blauen Würfel (rot die erste und blau die zweite Zahl). Über A ist eine Äquivalenzrelation R definiert, sodass (a, b)R(c, d) genau dann, wenn
|a – b| = |c – d|.
Frage: Wie Bestimme ich nun
1. die Anzahl der Äquivalenzklassen,
2. ein Repräsentantensystem
3. und für jeden Repräsentanten die Größe seiner Äquivalenzklasse.
Vielen Dank!
1 Antwort
Anzahl der Klassen:
Überlege dir, welche Werte |a-b| hier annehmen kann
repräsentatives System:
Finde für jeden möglichen Wert von |a-b| ein Beispiel
für jeden Repräsentanten die Größe seiner Äquivalenzklasse:
Bestimme für jede Klasse (also jeden Möglichen Wert von |a-b|) die Anzahl der Elemente aus A, für die |a-b| den Wert hat
Was ist denn noch unklar?
- | a - b | kann die Werte 0 bis 5 annehmen
- Jeder mögliche Wert von | a - b | also einfach 0,1,2,..,5?
1. Ja, wie viele Klassen sind es also?
2. Du sollst für jeden Wert ein Element (a,b) aus A Finden, sodass |a-b| diesen Wert hat.
- 6 Äquivalenzklassen
- 3 - z.B. 4-1
- Was genau ist mit 3. gemeint?
1. Ja
2. Wenn du es richtig und vollständig aufschreibst, ja.
3. Zähle zum Beispiel, wie viele Paare es gibt, dessen Differenz 1 ist.
6-5, 5-4, 4-3, 3-2, 2-1 - 5 Paare und dies nun für alle Möglichkeiten genau so aufschreiben? (0-5)
Und wie stellt man die Repräsentantensysteme da? Einfach 1: 5-4 oder hat es eine bestimmte Form wie es aussehen sol?
Vergiss nicht, dass |a - b| ∼ |b - a|. Am Ende müssen alle Äquivalenzklassen zusammen insgesamt |A| = 36 Elemente haben.
Die Repräsentanten sind Tupel aus A, also (5,4) wäre ein Beispiel ein Repräsentant der Klasse, für die |a-b|=1 gilt.
Jo, sind 36 Elemente 👍🏻