Hallo :) Ich muss herausfinden ob die Gerade (5x-2b) und die Parabel (2x²-3x+2) Schnittpunkte weiß aber nicht wie ich das berechnen soll wegen dem b. Danke :)?

Gegeben sei eine Funktion f mit

f ( x ) = 2 * x^2 - 3 * x + 2

und eine Funktion g mit

g ( x ) ) = 5 * x - 2 * b

Frage: Für welche Werte von b haben die Schaubilder von f und von g einen, zwei oder keinen gemeinsamen Punkt?

Stelle zuerst du Funktionsterme gleich:

f ( x ) = g ( x )

2 * x^2 - 3 * x + 2 = 5 * x - 2 * b    | -  5 * x

2 * x^2 - 8 * x + 2 = - 2 * b             | + 2 * b

2 * x^2 - 8 * x + 2 + 2 * b = 0 ... Man erkennt, dass man durch 2 teilen kann.

x^2 - 4 x + 1 + b = 0

Diese quadratische Gleichung löst man mit der pq-Formel. Diese lautet:

x1,2 = - p / 2 +- Wurzel( ( p / 2 )^2 - q )

Hier sind p = - 4 und q = 1 + b. Wir setzen ein und erhalten:

x1,2 = 2 +- Wurzel( 4 - ( 1 + b ) )

x1,2 = 2 +- Wurzel( 3 - b )

Fall1: ein gemeinsamer Punkt. Das ist genau dann der Fall, wenn der Wert unter der Wurzel Null ergibt. Das ist für b = 3 der Fall.

Fall2: zwei gemeinsame Punkte. Dieser Fall tritt ein, wenn der Wert unter der Wurzel positiv ist, also wenn gilt 3 - b > 0. Das ist für b erfüllt, die kleiner als 3 sind, also b < 3.

Fall3: keine gemeinsamen Punkte. Dann muss b > 3 sein.

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Zusammenfassung: Die Schaubilder von f und g haben für b = 3 genau einen gemeinsamen Punkt, für b < 3 zwei gemeinsame Punkte und für b > 3 keine gemeinsamen Punkte.

Möchte man die Punkte noch bestimmen, dann setzt man in g ein, um die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen.

Fall1: b = 3. Dann x = 2. Somit g( 2 ) = 5 * 2 - 2 * 3 = 10 - 6 = 4. Die Schaubilder von f und g haben dann den gemeinsamen Punkt S( 2 | 4 )

Fall2: b < 3. Dann x1,2 = 2 +- Wurzel( 3 - b ), also

x1 = 2 + Wurzel( 3 - b )

x2 = 2 - Wurzel( 3 - b )

Einsetzen in g liefert:

y1 = 5 * ( 2 + Wurzel( 3 - b ) ) - 2 b = 10 + 5 Wurzel( 3 - b ) - 2 b

y2 = 5 * ( 2 - Wurzel( 3 - b ) ) - 2 b = 10 - 5 Wurzel( 3 - b ) - 2 b

Für b < 3 haben die Schaubilder von f und g die beiden gemeinsamen Punkte

S1( 2 + Wurzel( 3 - b ) | 10 + 5 Wurzel( 3 - b ) - 2 b ) und S2( 2 - Wurzel( 3 - b ) | 10 - 5 Wurzel( 3 - b ) - 2 b )

Beide Formeln gleichsetzen:

5x - 2b = 2x² - 3x + 2     

Nach 0 Auflösen:

0 = x² -4x +1 + b

pq-Formel anwenden:

x = 4/2 ± √((-4/2)² - 1-b)

x = 2 ± √(3-b)

In eine Gleichung einsetzen:

y = 5(2 ± √(3-b)) -2b

y = 10 ± 5*√(3-b) -2b

Damit hast du eine Menge an Schnittpunkten, die von der Variable b abhängig sind:

(2 ± √(3-b),  10 ± 5*√(3-b) -2b)

(wobei b≤ 3 sein muss)

y=5x-2b sind unendlich viele parallele Geraden(~Scharen)! Berechne den Scheitelwert der Parabel und setze diesen Punkt in die Geradengleichung ein und berechne b. Mit -2b hast du den tiefsten y-Schnittpunkt für gemeinsame Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel. Verändere diese Konstante dann nach oben!

Könnte das b nicht auch ein Tippfehler sein?