Grenzverhalten einer Folge beweisen?
Mein Idee war, das ich hier mit dem Einschachtelungssatz arbeiten könnte, dann könnte ich zeigen, dass das Grenzverhalten 1 ist für bestimmte Folgen. Das hat dann auch mehr oder weniger geklappt, aber ich frag mich ob die Aussage auch für ein s=0 wahr ist. Ich verstehe nicht, wie ich das zeigen soll.
Es seien s, S ∈ R>0 zwei positive reelle Zahlen und (an)n∈N eine Folge
reeller Zahlen mit 0<s<an <S für allen ∈N.Zeige,
lim n→∞ : n-te Wurzel von an = 1
Ist die Aussage auch noch richtig mit s = 0?
Vielen Dank im Voraus :)
3 Antworten
aber ich frag mich ob die Aussage auch für ein s=0 wahr ist. Ich verstehe nicht, wie ich das zeigen soll.
Hier reicht es aus, ein Gegenbeispiel zu finden, sodass die Aussage nicht mehr wahr ist wenn s=0 erlaubt wäre.
Und dafür reicht ein Faches Gegenbeispiel aus:
a_n = 0 für alle n. Die n. Wurzel von 0 ist immer 0, konvergiert die Folge der Wurzeln gegen 0 und nicht gegen 1.
Eine kleine übung für dich:
Finde ein Beispiel, wo S< a_n >= 0 gilt für alle n und die Folge der Wurzeln gar nicht konvergiert.
Auch für 0 < a_n < S (a_n echt größer als 0) stimmt es nicht mehr - es ist nicht allzu schwer, (a_n^(1/n)) immer noch gegen 0 laufen zu lassen
Die Bedingungen bedeuteten lediglich dass a) die Folge a_n nach oben beschränkt ist (nämlich durch S) und das alle Folgenglieder nicht nur positiv sind, sondern dass es sogar eine echt positive untere Schranke für die Folgenglieder gibt, nämlich s. Weiteres darfst du nicht über s und S voraussetzen oder gar vermuten. Einfach mal s = 0 zu setzen ist nicht erlaubt, denn s muß ja echt größer 0 sein.
Ist die Aussage auch noch richtig mit s = 0?
Das klingt eher als Teil der Aufgabe, wo man begründen soll, ob die Aussage noch stimmt, wenn man statt s>0 die Bedingung s>=0 nimmt.
Ist die Aussage auch noch richtig mit s = 0?
Die Frage stellt sich nicht, wegen >0 in:
Es seien s, S ∈ R>0 zwei positive reelle Zahlen ...