Gleichmäßige Konvergenz?
Wie wählt man epsilon und könnte man es nicht größer wählen damit alles passt?
2 Antworten
Mir scheint, dir ist nicht klar, wie sich der Beweisaufbau ändert, wenn man statt gleichmäßiger Konvergenz beweisen soll, dass eine Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert.
Wenn eine Definition mit einem Allquantor ("für alle ε>0 ...") beginnt, beginnt der (direkte) Beweis mit: "Sei ε>0 (gegeben)".
Die Negation jener Definition beginnt aber mit einem Existenzquantor ("es gibt ein ε>0 ..."). Daher muss ein (direkter) Beweis dafür beginnen mit: "Ich setze (oder wähle) ε:= ... ").
Der erstgenannte Beweisbeginn käme z.B. für einen Beweis gleichmäßiger Konvergenz zum Zuge. Der zweite käme zum Zuge, wenn man zeigen will, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Denn dazu muss man die definierende Bedingung fehlerfrei :-) negieren, und die Negation wird die Behauptung.
(Vielleicht weißt du das auch, aber deine Nachfrage zeigt, dass du mit den Quantoren noch auf Kriegsfuß stehst. Glaub' mir: Solange das so ist, bekommst du keinen Beweis in der Analysis hin! Du musst dir genau klarmachen, wie man eine komplett mit allen Quantoren geschriebene Behauptung beweisen muss und wie man eine solche mit Quantoren geschriebene Aussage negiert. Das muss man gnadenlos oft gemacht haben, damit es in Fleisch und Blut übergeht. Sonst läuft nix...)
Übrigens, dass der Aufschrieb der Beweise so beginnen muss, wie oben angegeben, heißt auf gar keinen Fall, dass man etwa die Beweise auch in dieser Reihenfolge finden müsse! Im Beweis scheinen gewisse Setzungen "vom Himmel zu fallen" ("Man wähle (setzte) δ:=..." ist typisch). Allermeistens kommt man beim Finden eines Analysis-Beweises erst ganz spät darauf, wie man das gewünschte δ zu setzen hat! Und doch ist die Setzung im Beweis bereits sehr früh gefordert.
Danke sehr eigentlich weiß ich es, aber es ist mir wohl entgangen
Schau mal die Definition von gleichmäßiger Konvergenz nach. Da steht sowas mit ".... für jedes epsilon größer null...." In der vorliegenden Aufgabe hat man ein epsilon gefunden, für das die Voraussetzungen für gleichmäßige Konvergenz nicht gelten, das reicht.
Deine Notation ist nicht präzise, schau dir bitte die Definition an --- und die ausgezeichnete Antwort von Piddle.
Also liegt gleichmäßige Konvergenz nur vor, wenn |f(x) - f_n(x)| <= 0 (n -> inf) ist?