Gleiche Flächen - Integrale?
Guten Tag, ich verzweifle an dieser Aufgabe ;(. Es wäre sehr sehr nett, wenn jemand, der sich damit auskennt, helfen könnte:
Bestimme t>1 so, dass die von der Parabel der Form y=tx-x^2 und der x-Achse eingeschlossen Fläche von der ersten winkelhalbierenden halbiert wird.
Liebe Grüße Lina
2 Antworten
Hallo,
zunächst suchst Du die Schnittpunkte zwischen der Parabel und der Geraden y=x, der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten.
Ein Schnittpunkt ist der Ursprung (0|0), durch den beide Funktionen gehen.
Den anderen bekommst Du durch Gleichsetzung: tx-x²=x bzw. tx-x-x²=0.
Ausklammern von x ergibt x*(t-1-x).
Der Satz vom Nullprodukt ergibt neben der Triviallösung x=0 die Lösung der Gleichung t-x-1=0 bzw. x=t-1.
Integrierst Du y=tx-x-x² von 0 bis (t-1) mußt Du auf das gleiche Ergebnis kommen, als wenn Du y=tx-x² von Nullstelle zu Nullstelle integrierst und das Ganze halbierst.
Die Nullstellen bekommst Du auch hier wieder durch Ausklammern:
x*(t-x)=0, also x=0 oder t-x=0 bzw. x=t.
Hier integrierst Du also von 0 bis t.
Das bedeutet: Int (tx-x-x²)dx von 0 bis (t-1)=0,5*Int (tx-x²)dx von 0 bis t.
Da die Integrale für x=0 jeweils Null ergeben, brauchst Du im Grunde nur die beiden Stammfunktionen zu bilden, in die erste anstelle von x den Term (t-1) einzusetzen, in die zweite für x ein t, gleichzusetzen und nach t aufzulösen.
Du bekommst eine Gleichung dritten Grades, die Du mit dem Taschenrechner lösen solltest. Zur Kontrolle: t=4,847322102.
Die anderen beiden Lösungen sind komplex und spielen hier keine Rolle.
Mach Dir unbedingt eine Skizze oder gib die Funktionsgleichungen in einen Plotter ein.
Herzliche Grüße,
Willy
Wie berechnest Du die Fläche unter der Parabel? (blaue+grüne Fläche)
Wie berechnest Du die blaue Fläche?
