Gibt es Ausnahmen in denen Einheiten im Exponent eine physikalische Bedeutung haben?
Normalerweise ergeben Einheiten im Exponenten (solange sie sich nicht rauskürzen) keinen Sinn. (3m)^2 = 3m * 3m = 9m^2; jedoch was sollte 3^(2m) bedeuten, wie soll man die 3 mit sich selber "2m" mal multiplizieren?
Ich Frage mich jedoch, ob es einige Ausnahmen gibt die eine physikalische Bedeutung haben?
6 Antworten
Exponenten sind immer dimensionslos, was aber nicht heißt, dass sie nicht physikalische Bedeutung haben, zb bei harmonischen Schwingungen e^iωt
Das geht nicht. Man kann aber andere "unkonventionelle" Objekte im Exponent haben, wie z.B. Vektoren, Matrizen und Operatoren (wie z.B. Ableitungen).
Der Grund dafür liegt in der sogenannten Taylorentwicklung, welche eine unendliche Summe ist, die eine art alternative Darstellung der Funktion ist. Mit der Taylorreihen-Darstellung ergeben solche Objekte dann einen Sinn. Für eine Exponentialfunktion wäre das insbesondere
wobei bspw. A eine Matrix ist. Diese Art von Formalismen kommen häufig in der Quantenphysik vor. Man kann dies aber auch mit trigonometrischen Funktionen wie sin(), cos() etc. machen.
Im Falle einer Einheit, würde das Folgendes ergeben:
und hier tritt das Problem auf. Man würde hier eine Konstante (m^0) mit einer Längeneinheit (m) und eine Fläche (m^2) aufaddieren, was keinen Sinn ergibt. Da diese Darstellung eine mathematisch äquivalente Darstellung einer Exponentialfunktion darstellt, dürfen hier also keine Einheiten im Exponenten vorkommen. Bei anderen Basen der Potenz ist es das gleiche, so wie auch bei trigonometrischen und anderen Funktionen, die elementar gesehen keine Polynome sind.
m^2 bedeutet Quadratmeter. Also m*m. Das Quadrat bezieht sich nur auf die Einheit Meter. Du hast eigentlich geschrieben 3m^2=9m^2. Das ist quatsch^2!
Auch wenn die Einheit im Exponent einen physikalischen Sinn hätte - der Ausdruck wäre mathematisch sinnlos. Und ein sinnloser Ausdruck sollte in einer sinnvollen Gleichung nicht vorkommen.
Im Exponenten darf es keine Einheiten haben, sonst kannst du mit Sicherheit sagen, dass da jemand einen Fehler gemacht hat. Weshalb dies so ist, siehst du, wenn du die Exponentialfunktion als Reihe schreibst. Wenn du x im Exponenten hast, musst du eine Summe ausrechnen, bei der x, x^2, x^3, x^4 etc. vorkommen. Wenn x in Metern gemessen wird, müsstest du m + m^2 + m^3 + ... rechnen können, was offensichtlich Unsinn ist.
Der edit hat zu lange gebraucht