Gibt ein Taschenrechner immer den kleinsten Winkel zurück?
2 Antworten
Der Taschenrechner gibt immer die so genannten Hauptwerte der Arkusfunktionen zurück.
arcsin: -90° .. +90°
arccos: 0° .. 180°
arctan: -89,9999..° .. +89,9999..°
Manche Programmiersprachen, auch Excel, bieten die Funktion ATAN2. Dort kann man zwei Variablen übergeben und zwar den Zähler- und den Nennerwert eines Bruches, der einen Steigungswert repräsentiert. Auf diese Weise kann dann bestimmt werden in welchem Quadrant ein Zeiger bzw. ein Ortsvektor liegt. Auf diese Weise kann dann ein Vollkreis im Bereich von 0° bis 360° bzw von -180° .. +180° abgebildet werden. Sehr nützlich.
Nach streng mathematischer Definition nicht. Denn arcsin(0,5) = 30°. Aber sin(-330°) ergibt auch 0,5. Und -330° ist kleiner als 30°. Anderes Beispiel arccos(0,5) = 60°. Aber cos(-60°) ergibt auch 0,5. Und -60° ist kleiner als +60°. In mathematischer Strenge müssten man sagen, dass der Taschenrechner immer den Wert zurückgibt, dessen Betrag unter der Lösungsvielfalt am kleinsten ist. Aber der Taschenrechner gibt nicht den Betrag der Lösung selbst heraus, sondern den Wert, der dem betragskleinsten Wert zugeordnet ist. Das ist kompliziert. Hier ein Beispiel: arcsin(-0,5) hat theoretisch folgende Lösungsvielfalt {.., -750°, -390°, -30°, +330°, +690°, ..} . Die Beträge der Lösungsvielfalt sehen so aus: {750°, 390°, 30°, 330°, 690°, ..}. Der kleinste Betrag aus dieser Lösungsvielfalt ist 30°. Dieser Betrag war dem Argument -30° zugeordnet. Folglich spuckt der Taschenrechner -30° aus.
Bei welcher Eingabe/Aufgabe?
In den allermeisten Fällen gibt es ja eindeutige Lösungen für eine Gleichung - wenn es überhaupt eine Lösung gibt.
Aber sind diese Hauptwerte immer die kleinsten Winkel?