Geobrett

1 Antwort

claushilbig
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
im Thema Mathematik
27.01.2015, 01:15

Das liegt daran, dass ein Geobrett ein rechtwinkliges Gitter hat, und dass sich das nicht mit den 60°-Winkeln des gleichseitigen Dreiecks "verträgt ...

Die Längen aller möglichen "schrägen Linien" kannst Du jeweils über den Pythagoras berechnen. Ich habe das mal für die Längen im 5x5-Brett gemacht (die Zahlen in der ersten Spalte und Zeile sind die Anzhal der Nagel-Abstände in waagerechter und senkrechter Richtung):

\        1           2           3           4           5
1   1,414213562 2,236067977 3,16227766  4,123105626 5,099019514
2   2,236067977 2,828427125 3,605551275 4,472135955 5,385164807
3   3,16227766  3,605551275 4,242640687 5           5,830951895
4   4,123105626 4,472135955 5           5,656854249 6,403124237
5   5,099019514 5,385164807 5,830951895 6,403124237 7,071067812

Alles, was unterhalb der Diagonalen von links oben nach rechts unten steht, kann man ignorieren, denn das sind dann nur Spiegelungen bzw. Linien Drehungen der oberhalb der Diagonalen. (Es ist unerheblich, ob ich nun z. B. einen Schritt nach rechts und drei nach oben oder drei Schritte nach rechts und einen nach oben oder drei Schritte nach links und einen nach oben oder einen Schritt nach links und drei nach unten oder ... gehe, alle diese Linien haben die gleiche Länge, nämlich 3,16227766 (s. Zeile1 Spalte 3 oder Zeile 3 Spalte 1)

Du wirst feststellen, dass dann jede Zahl genau ein mal vorkommt. Jede mögliche Länge hat damit eine - bis auf Drehung (um 90°) und Spiegelung (an einer waagerechten oder senkrechten Achse) oder eine Kombination von beidem - eindeutige "Richtung".

Für gleichschenklige Dreiecke reicht das, denn die "Richtung" der beiden gleichen Schenkel geht aus einer Spiegelung hervor. Für ein gleichseitiges Dreieck bräuchte man aber eine dritte gleiche Länge, die in einer anderen Richtung läuft. die gibt es aber nicht ...

Alternativ kann man mit Hilfe des Arcustangens auch die Winkel berechnen, die gegenüber einer Waagerechten oder Senkrechten möglich sind (Angaben in °):

\        1           2           3           4           5
1   45          63,43494882 71,56505118 75,96375653 78,69006753 
2   26,56505118 45          56,30993247 63,43494882 68,19859051
3   18,43494882 33,69006753 45          53,13010235 59,03624347
4   14,03624347 26,56505118 36,86989765 45          51,34019175
5   11,30993247 21,80140949 30,96375653 38,65980825 45

Damit ein gleichseitige Dreieck möglich wäre, müsstest Du in dieser Tabelle ein Zahlenpärchen finden, das zusammen 60° ergibt - so eines ist aber nicht dabei ...

Ich habe das jetzt nur bis zu einer Größe von 5x5 ausgerechnet (Dank an die Tabellenkalkulation!), bis zu der Geobretter üblicherweise gebaut werden. Ob ein gleichseitiges Dreieck auch auf einem beliebig großen Brett nicht möglich wäre, weiß ich nicht, nehme es aber an. Dafür wäre dann aber ein allgemeiner Nachweis nötig, dazu fällt mir jedoch gerade nichts ein.