Gemeinsamkeiten Hyperbeln und Parabeln?
Was sind die Gemeinsamkeiten von Hyperbeln und Parabeln?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ein paar Anmerkungen:
Es handelt sich um Kegelschnitte, deren unterschiedliche Kurven (Ellipse, Hyperbel, Parabel) durch Veränderung der Parameter einer allgemeinen Kurvengleichung beschrieben werden können. Die parallele Lage zur x-Achse erhält man durch Transformation (Drehung der Kegelschnittachsen).
Die Verwandtschaft der Kegelschnitte wird besonders in den Scheitelgleichungen deutlich:
gemeinsame Scheitelgleichung:
y² = 2 * p * x + (ε² - 1) * x²
mit den Parametern ε (numerische Exzentrizität) und p, die mit den Brennpunkten zu tun haben
1) ε = 1 (Parabel)
y² = 2 * p * x
2) ε² - 1 = p / a (Hyperbel)
y² = 2 * p * x + (p / a) * x²
3) 1 - ε² = p / a (Ellipse)
y² = 2 * p * x - (p / a) * x²
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Littlethought/1608845011585_nmmslarge__0_0_1400_1400_12f863478e3a55ad70794295ebf7770d.jpg?v=1608845012000)
Folgende Darstellung stammt aus meinem Astronomiekonzept.
Das Konzept kann unter
https://www.dropbox.com/sh/x56zbd1s9h9s199/AACTraaBO6hPukv2PMkjFB-_a?dl=0
eingesehen und heruntergeladen werden.
![- (Schule, Mathematik, Parabel)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/428603907/0_big.png?v=1638999101000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
x²/a² - y²/b² = 1 beschreibt eine Hyperbel, deren Symmetrieachsen die x- und y-Achse des Koorninatensystems sind, also nicht jede Hyperbel und erst recht nicht die Hyperbel y = 1/x.
Um auf y = 1/x zu kommen, setzen wir erstmal b = a
x² - y² = a²
Dann drehen wir um 45°
x := x + y und y := x - y
(da kommen als Faktoren eigentlich sin(45°) bzw. cos(45°) hinzu, die lasse ich hier weg, weil man a entsprechend anpassen kann)
(x + y)² - (x - y)² = a²
4xy = a²
y = a²/(4x)
mit a = 2 wird daraus
y = 1/x
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Halbrecht/1525443667546_nmmslarge__243_35_423_423_0f63963408c8ccb1dad80c34585c3099.jpg?v=1525443670000)
Kegelschnitte
.
es existiert eine Symmetrieachse
.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Littlethought/1608845011585_nmmslarge__0_0_1400_1400_12f863478e3a55ad70794295ebf7770d.jpg?v=1608845012000)
Hinweis: die allgemeine Form der Kegelschnitt steht als letzte Zeile in dem Auschnitt aus meinem Konzept.
Hyperbel ist mir nie so richtig klar geworden :
f(x) = 1/x ist eine , aber es ist x²/a² - y²/b² = 1 . . jede Parabel , sagt wiki, sei so beschreibbar . Wie von diesem zu 1/x gelangen ?