Ganzrationale Funktion 3. Gerades Bestimmen?

Hallo, ich bräuchte dringend Hilfe bei Folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph die angegebenen

Eigenschaften hat.

1. Der Graph hat im Koordinatenursprung und im Punkt P(2|4) jeweils ein Extremum.
2. Geben Sie an, ob der Punkt P(2|4) ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist.

Answer 1

[evtldocha]

Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion 3. Grades $f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d$ hat die 4 unbekannten Parameter a,b,c und d sowie die beiden Ableitungen

$f'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c$ $f''\left(x\right)\ =6ax\ +2b$

Aufgabe a) Der Aufgabentext liefert:

$\left(1\right)\ f\left(0\right)=0$ $\left(2\right)\ f'\left(0\right)=0$ $\left(3\right)\ f\left(2\right)=4$ $\left(4\right)\ f'\left(2\right)=0$

Daraus ergeben sich 4 Gleichungen für die 4 unbekannten Parameter a,b,c und d.

$\left(1\right)\ a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d=0\ \rightarrow\ d=0$ $\left(2\right)\ 3a\cdot0\ +2b\cdot0\ +c\ =\ 0\ \rightarrow\ c\ =0$ $\left(3\right)\ a\cdot8+b\cdot4\ =\ 4\ \ \rightarrow\ b=1-2a$ $\left(4\right)\ 12\cdot a+4b\ =\ 0\ \rightarrow\ b=-3a$

Aus (3) und (4) folgt:

$a=-1;\ b=3$

Skizze:

Answer 2

[nobytree2]

Die Ableitung dieser Funktion hat zwei Nullstellen, nämlich bei 0 und 2, also lautet die Ableitung: f'(x) = (x - 2) * (x - 0)*a = a*(x² - 2x)

Für die Funktion f integrieren wir f(x)' und erhalten:

$\int f'\left(x\right)=a\cdot\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)+c$

Für a und c setzen wir die Punkte ein

Punkt (0|0) führt direkt zu 0 = c

Punkt (2|4):

$4=a\cdot\left(\frac{2^3}{3}-2^2\right)=a\cdot\left(\frac{8}{3}-4\right)=a\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)\to a=-3$

f(x) = -x³ + 3x²

f''(x) = -3 * (2x - 2) = -6x + 6

f''(2) < 0: Hochpunkt