Funktionssynthese?

hallo Leute ich brauche Hilfe dringend, da ich morgen eine Arbeit schreibe:(

Die Aufgabe lautet: Der Graph eine ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse an der Stelle x=4 und hat in W(2/3) einen Wendepunkt. Bestimmen sie den Funktionsterm.
ich komme nicht weiter, also ich habe a und b berechnet aber komme irgendwie nicht weiter und weiß nicht wie man die C und d Berechnen soll.

bei den Aufgaben wo man nur a,b und c berechen muss, verstehe ich, aber hier sind a,b,c, d unbekannt und das fällt mir schwer.

Answer 1

[person498]

Wenn du a und b berechnet hast, dann kannst du doch diese beiden Werte in die Gleichung III einsetzen (48a + 8b + c = 0). dann kannst du doch ganz normal nach c umformen und erhälst auch für c einen Wert. Wenn du für c einen Wert hast, kannst du dann wiederum alle drei Werte in die erste Gleichung einsetzen und erhälst d.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[evtldocha]

Ich würde so lösen:

Da in der Aufgabe steht, dass die Funktion die x-Achse bei x=4 "berührt" heißt das, dass es eine dritte Nullstelle (Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion dritten Grades) geben muss und die Funktion daher faktorisiert geschrieben werden kann.

$f\left(x\right)=a\cdot\left(x-4\right)^2\cdot\left(x-d\right)$

("berührt" heißt auch: Bei x=4 ist kein Vorzeichenwechsel also liegt eine doppelte Nullstelle vor und daher kommt dann das Quadrat bei (x-4))

Nun hat man nur noch 2 Unbekannte: "a" und "d" mit den 2 Bedingungen;

$\left(1\right)\ f\left(2\right)\ =3\ \rightarrow\ 4a\cdot\left(2-d\right)=3$ $\left(2\right)\ f''\left(2\right)=0\ \rightarrow\ 4a\ -2da\ =0\$

Letztere Gleichung erfordert natürlich die Berechnung der zweiten Ableitung (was ich mir hier erspare). Am Ende bekommt man damit auf:

$a=\frac{3}{16}​;d=-2$

Die gesuchte Funktion lautet also:

$f\left(x\right)=\frac{3}{16}\left(x-4\right)^2\cdot\left(x+2\right)$

Skizze: