Steckbrief Aufgabe Hilfe?
der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Der Graph hat einen Extrempunkt im Koordinatenursprung, sowie an der Stelle x=1 einen Wendepunkt. Bestimmen Sie mehrere mögliche Funktionsterme.
Danke
2 Antworten
wegen symmetrie ansatz
ax^4 + bx^2 + c = f(x)
4ax³ + 2bx = f'(x)
12ax² + 2b = f''(x)
.
f(0) = 0 bringt c = 0
f'(0) = 0 bringt nix , denn
4a0³ + 2b0 = 0 >>> 0 = 0
f''(1) = 0
12a + 2b = 0
-6a = b
man kann also wählen
mit a = 1 muss b = -6 werden
mit a = -1/3 muss b = 2 werden
.
1x^4 + -6x^2 + 0 = f(x)
-1/3x^4 + 2x^2 + 0 = g(x)
Ganzrationale Funktion 4. Grades:
f(x) = a * x⁴ + b * x³ + c * x² + d * x + e
Symmetrisch zur y-Achse:
f(x) = a * x⁴ + c * x² + e
Extrempunkt im Koordinatenursprung:
f(x) = a * x⁴ + c * x²
f'(x) = 4 * a * x³ + 2 * c * x
f'(0) = 0
Wendepunkt an der Stelle x = 1:
f''(x) = 12 * a * x² + 2 * c
f''(1) = 0
0 = 12 * a + 2 * c
c = -6 * a
Funktionsgleichung, die diese Bedingungen erfüllt:
fa(x) = a * x⁴ - 6 * a * x²
Jetzt kannst Du für a verschiedene Werte einsetzen und erhältst unterschiedliche Funktionsgleichungen.