Funktionen mithilfe der (ersten) Ableitung untersuchen?
Hallo Community,
ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Ich wäre euch sehr verbunden, wenn mir jemand erklären könnte, wie man Richtung Lösung kommt.
Gegeben ist die Funktion g(x)= −20x³ + 240x² − 420x − 760. Sie gibt den täglichen Gewinn eines Unternehmens in Euro an, wenn ihr Produkt in x= Stückzahl produziert wird.
Berechnen Sie die Stückzahl x, für die das Unternehmen maximalen Gewinn erreicht.
Berechnen Sie den maximal täglich möglichen Gewinn.
Mit freundlichen Grüßen
6 Antworten
Wenn du nur einen Tipp willst: Falls der Graph einer Funktion ein lokales oder globales Maximum oder Minimum hat, dann ist die Steigung der Tangente an diesem Punkt gleich null. Und da die Ableitung die Steigung der Tangente in jedem Punkt angibt, muss der Graph der Ableitungsfunktion an der Stelle des globalen/lokalen Maximums/Minimums eine Nullstelle haben.
Zuerst Ableitung machen, dann die Nullstellen der Ableitung berechnen und dann gucken, welches Extrema der Hochpunkt ist
(zu der ersten Aufgabe)
Danke, dann ist meine Lösung mit x=7 (lokales Maximum) richtig (7|1200) ? Wie siehts mit der zweiten Aufgabe aus?
g(x)=-20*x³+240*x²-420*x-760 abgeleitet
g´(x)=0=-60*x²+480*x-420 dividiert durch -20
0=x²-8*x+7 hat die Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit p-q-Formel
x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
p=-8 und q=7
x1,2=-(-8)/2+*-Wurzel((-8/2)²-7)=4+/-Wurzel(16-7)=4+/-3
x1=4+3=7 und x2=4-3=1
Nun prüfen,ob ein Maximum oder Minimum vorliegt
noch mal abgeleitet
g´´(x)=-120*x+480
g´´(7)=-120*7+480=-360<0 also ein Maximum
g´´(1)=-120*1+480=360>0 also ein Minimum
Nullstellen g(x)=.... x1=-1,081 und x2=3,777 und x3=9,304
Infos,Kurvendiskussion,vergrößern und/oder herunterladen
Nullstellen der 1. Ableitung sind Hoch - bzw. Tiefpunkte deiner ursprünglichen Funktion.
Also müsstest du ableiten und dann für y = 0 einsetzen und bekommst die x-Werte, wo der Gewinn am höchsten oder niedrigsten ist.
Maximum der Funktion bestimmen.
Der x-Wert ist die Stückzahl, bei der der Gewinn maximal ist.
Der y-Wert der Gewinn.