für welche natürliche Zahl gillt, dass ihre Potenz mit sich selber gleich gross ist wie die Summe mit sich selber oder wie das Produkt mit sich selber?
5 Antworten
also: x^x = x * x = x + x
"vordere" Gleichung:
x^x=x * x
x^x=x² => x=2 (Basis ist gleich, also muß auch der Exponent
gleich sein, damit die Gleichung stimmt)
Probe: 2² = 4; 2 * 2 = 4; 2+2 = 4
oder "hintere" Gleichung:
x * x = x + x
x²=2x |-2x
x²-2x=0 |x ausklammern
x(x-2)=0 |Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist
x=0 oder x=2
Test: x=0: 0+0=0; 0 * 0=0, aber 0^0=1 (per Definition, da a^0=1 für alle a
gesetzt wurde)
x=2: 2+2=4; 2 * 2=4, 2²=4
oder auch den Fall Basis=0 (wenn man die 0 unbedingt als natürliche Zahl sehen will...)
@Rhenane: nach dem Gemecker muss ich noch erwähnen, dass Deine Antwort immerhin die einzige ist, die die Aufgabe vollständig untersucht.
Im "vorderen" Teil hättest Du einfach logarithmieren können, und im "hinteren" Teil hätte ein lapidares 0∉ℕ genügt. Dann wär's perfekt.
Kriegst aber auch so einen Daumen hoch!
Wollte die (richtige) Lösung x=2 für die vordere Gleichung so "unkompliziert und logisch" wie möglich rüberbringen, da ist mir dann die 1 als weitere mathematische Lösung per Logarithmus durchgegangen...
also rechenweg.
x hoch x = x mal x = x + x
zu x mal x kann man auch sagen x². zu x plus x sagt man 2x
also x²=2x
den rest kannst du alleine ;)
Zweimal darfst du raten.
Im Ernst, warum hast du es nicht mal eben für 1, 2, 3, 4 und 5 ausprobiert?
2
2² = 4
2+2 = 4
2 * 2 = 4
Hallo,
die Zahl ist 2.
2+2 = 4
2*2 = 4
2^2 = 4
Mit freundlichen Grüßen,
Dr Blex
Schau dir am einfachsten die Ausdruckspaare
(1*1, 1+1)
(2*2, 2+2)
(3*3, 3+3)
(4*4, 4+4)
(5*5, 5+5)
an. Was fällt dir dabei auf? Kennst du Induktionsbeweise oder den Begriff der Monotonie?
x+x = x*x
2x = x^2 | /x
2 = x
Wie du siehst, gibt es selbst nur für die Summe und Potenz nur die 2 als Lösung, dementsprechend ja, nur die 2.
Für die vordere Gleichung gibt es noch den Fall Basis = 1