Kommutativität von Matrizen?
Sei K ein Körper. Dann ist die Verknüpfung + auf der Menge aller m×n-Matrizen über K kommutativ, da die Verknüpfung + in K kommutativ ist.
Kann mir jemand erklären, wieso aus der Eigenschaft, dass + in K kommutativ ist, folgt, dass + auch in der Menge aller m×n-Matrizen über K kommutativ ist?
Ich glaube schon verstanden zu haben, weshalb diese Aussage wahr ist. Allerdings habe ich Probleme, das formal korrekt aufzuschreiben, bzw. eine Beweis dafür zu finden.
Wenn mir dabei jemand behilflich sein könnte, wäre es wirklich klasse!
1 Antwort
Du brauchst dir ja nur die Definition der Addition in den mxn-Matrizen anzugucken: Wenn C = A + B ist, dann ist der (ij)-te Eintrag von C die Summe der (ij)-ten Einträge von A und B, also c_(ij) = a_(ij) + b_(ij).
Aber weil a_(ij) und b_(ij) aus K sind, kann man die Summanden auf der rechten Seite vertauschen und erhält c_(ij) = b_(ij) + a_(ij).
Da das für alle Einträge der Matrix gilt, ist auch C = B + A, wieder nach Definition der Matrixaddition.