Füllstand eines Kreiskegels, der befüllt wird, in Abhängigkeit von der Zeit?
Ein senkrechter Kreiskegel mit der Höhe h in cm und dem Radius r in cm steht mit der Spitze nach unten und wird mit Wasser gefüllt. Der konstante Durchfluss Q des Zulaufes ist in cm^3/s angegeben. Gesucht ist die Funktion, welche den Füllstand h des Kreiskegels in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Ich bin kein Experte, aber hat das was mit Differentialgleichungen zu tun?
1 Antwort
Mir ist nicht schlüssig, wie man das anhand einer DGL lösen soll.
Das geht eigentlich ziemlich straight-forward.
- Wie lautet die Menge(Volumen) des Wassers nach der Zeit t?
- Wie erhälst du aus den Angaben den Radius der Kreisquerschnitts bei der Höhe h_Wasser (du hast in der Aufgabe h doppelt verwendet)?
- Wie berechnet sich das Volumen eines Kegels?
- Wie lautet dementsprechend das Volumen eines Kegels bei der Höhe h_Wasser?
- Formeln zusammensetzen und nach h_Wasser umstellen!
Grr...
1/3*pi*r^2*h=Q/t
h=Q/(1/3*pi*r^2*t), also
h=1/(1/3*pi*t), eine simple Hyperbel. Damit wäre zum Zeitpunkt t=0 h unendlich...
Entschuldige für die verspätete Antwort.
Die Lösung:
Das Volumen, das das Wasser zur Zeit t einnimmt ist:
V_w = Q*t (1)
Wenn der Kegel nur zu einem Teil gefüllt ist entsteht ein kleinerer Kegel:
V_w = 1/3*pi*r_w^2*h_w (2)
r_w ist der Radius des Kegels, dessen Volumen die Menge des Wassers ist. Diesen erhälst du aus dem Verhältnis:
r/h = r_w/h_w
=> r_w = r*h_w/h (3)
Nun setzt du (1) gleich (2) und setzt (3) ein:
Q*t = 1/3*pi*r^2*h_w^3/h^2
Umstellen ergibt:
h_w = [3*Q*t*h^2/(pi*r^2)]^(1/3)
^(1/3) bedeutet "dritte Wurzel"
_w bedeutet, dass es ein Index ist und für die Werte steht, die mit dem Wasser zu tun haben. Du hast zwei verschiedene 'h', das eine für die Höhe des ursprünglichen Kegels, das andere für die Höhe des Kegels beim Wasserstand (h_w).
Boa, ich bin wohl zu doof:
V_Kreisk=1/3*pi*r^2*h
h=(3*VKreisk)/(pi*r^2)
Der Zufluss Q ist in cm^3/s, also Q=V/t, also V_Zufluss=Q*t
Jetzt V_Kreisk=V_Zufluss?
h=(3*Q*t)/(pi*r^2)
Jetzt wäre h_Kegel einfach gleichgesetzt mit h_Wasser. Aber die beiden h sind doch eigentlich eh "identisch".
Bei Q=1, r=1 wäre h(t)=(3*t)/pi
Kann nicht sein... erstmal was essen.