Freier Fall Physik restlichen Komponenten ausrechnen?

Die Aufgabe lautet „ein frei fallender Körper passiert zwei 12m untereinanderliegende Messpunkte im zeitlichen Abstand von 1,0s . Aus welcher Höhe über dem oberen messpunkt fällt der Körper und welche Geschwindigkeit hat er in den beiden Punkten

Answer 1

[SlowPhil]

Hallo RokoSkaric,

wir gehen davon aus, dass der Körper ungebremst (also der Luftwiderstand keinen nennenswerten Einfluss ausübt) fällt, d.h., seine Beschleunigung*) g› praktisch konstant ist, mit dem Betrag g ≈ 9,8 m⁄s². Für die Geschwindigkeit*) ergibt sich dann

(1) v›(t) = g›∙(t − t₀),

wobei t₀ der Abwurfzeitpunkt ist und sich die rechte Seite zu g›∙t vereinfacht, wenn wir t₀ als Zeitnullpunkt wählen.

Geschickte Koordinatenwahl

Der Einfachheit halber messen wir die einzig relevante Komponente von v›, die vertikale oder z-Richtung, vom Abwurfpunkt aus nach unten; so sind auch g und v positiv und der zurückgelegte Weg s ist mit z identisch.

Als z₁ und z₂ = z₁ + Δz bzw. s₁ bzw. s₂ = s₁ + Δs bezeichnen wir die Positionen der Messpunkte, als t₁ und t₂ = t₁ + Δt die Zeiten, zu denen der fallende Körper z₁ und z₂ erreicht. Die Geschwindigkeiten an den Messpunkten bezeichnen wir mit v₁ und v₂.

Geometrisches Problem

Dadurch wird das Ganze zu einem geometrischen Problem. In einem v-t-Diagramm bildet nämlich der Graph v(t) von t = 0 bis t = t₂ ein Dreieck mit der Fläche z₂ bzw. s₂, der Fallstrecke bis zum 2. Messpunkt; deshalb ist die Formel ja auch

(2) z(t) = ½∙v(t)∙t = ½∙g∙t²,

Grundseite mal Höhe durch 2. Der Bereich zwischen den Messpunkten bildet ein Trapez, das sich aus einem Rechteck der Fläche Δt∙v₁ = Δt∙g·t₁ und einem Dreieck der Fläche ½∙g∙Δt² zusammensetzt und dessen Gesamtfläche

(3) Δz = Δt∙g·t₁ + ½∙g∙Δt²

ebenso bekannt ist wie Δt. Nach den unbekannten Größen musst Du nun auflösen. Das von mir vorgefertigte Bild zeigt eine Prinzipdarstellung.

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*) Die Geschwindigkeit im eigentlichen Sinne (engl. velocity), v›, ist wie übrigens auch die Beschleunigung g› eine sog. Vektorgröße, d.h. eine Größe mit Betrag und Richtung und lässt sich in einem Koordinatensystem in drei Komponenten aufteilen und als (v_x; v_y; v_z) schreiben.

Der Betrag |v| = √{v_x² + v_y² + v_z²} der Geschwindigkeit heißt auf Englisch speed und kann im Deutschen mit „Tempo“ wiedergegeben werden. Mit 'v' ist entweder |v| oder z.B. v_z gemeint, falls das die einzige relevante Komponente ist.

Ein Körper hat relativ zu einem Bezugskörper, etwa einer Uhr U während einer von U aus ermittelten Zeitspanne Δt die (konstante oder durchschnittliche) Geschwindigkeit v›, wenn sich seine Position relativ zu U in Δt um Δs› = (Δx; Δy; Δz) = v›∙Δt ändert.

Die Position eines Punktes in einem lässt sich selbst als gedachte Verschiebung um den Ortsvektor r› = (x; y; z) deuten, dessen Komponenten nichts anderes als die Koordinaten sind..

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[SlowPhil]

…und dessen Gesamtfläche

(3) Δz = Δt∙g·t₁ + ½∙g∙Δt²

ebenso bekannt ist wie Δt. Nach den unbekannten Größen musst Du nun auflösen.

Die bekannten Größen sind g = 9,81 m⁄s², Δt = 1s und Δz (bzw. Δs) = 12m.

Deshalb ist die Fläche ½∙g∙Δt² des erwähnten Dreiecks problemlos auszurechnen, denn sie besteht nur aus bekannten Größen und ergibt 4,905 m, was von Δz abgezogen werden muss, um die Fläche v₁·∆t = g·t₁·∆t des Rechtecks zu erhalten (das ist die Strecke, die der Körper zurücklegen würde, wenn er ab dem ersten Messpunkt nicht mehr schneller würde), was 7,095 m ergibt.

Somit muss v₁ = 7,095 m/s sein, was die erste Frage teilweise beantwortet. Dazu musst Du g∙Δt = 9,81 m⁄s addieren, um auf v₂ zu kommen.

Außerdem ist

v₁ = g∙t₁    ⇔    t₁ = v₁⁄g ≈ 0,71 s,

und

s₁ = z₁ = ½∙g∙t₁² = ½∙v₁²⁄g ≈ 2,5 m.

Dies ist die Höhe über dem ersten Messpunkt.