frage zu Exponentieller Zerfall Mathe MSA 2023?

hallo zusammen ich lerne grad für meinen Mathe Abschluss und verstehe die Frage C nicht, könnte vielleicht jemand erklären was man wo einsetzten muss und warum man das so einsetzten muss damit ich es verstehe, wäre echt nett. Ich benutze diese Formel N(t)= N0 x a hoch t (siehe Bilder)

Answer 1

[evtldocha]

Zu c) Die Lösung - ich nehme an, dass das die Lösung ist - rechnet zuerst aus, wie viele Halbwertszeiten es benötigt, um auf 63 % Restmenge zu kommen. Daher löst es die Gleichung.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{n\ }=\ 0,63\ \ \ \ \ \ |\ \ln\$ $n\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\left(0,63\right)\ \ \ \$ $−n⋅\ln(2)=\ln(0,63)\ \ \ \ \ \ \ \ ∣:\ \left(-\ln(2)\right)$ $n=-\ \frac{\ln\left(0,63\right)}{\ln\left(2\right)}\ \approx\ 0,67$ Es dauert also ca. 0,67 Halbwertszeiten. Da 1 Halbwertzeit 5730 Jahre beträgt, ergibt sich das Alter t zu $t=5730\ \cdot\ n\ =\ 5730\ \cdot\ 0,67\ \approx3839\$

Du könntest natürlich auch mit

$N\left(t\right)=N_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{^{\frac{t}{5730}}}=N_0\cdot\left(\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}\right)^{t\ }\approx N_0\cdot0,99988^t$

rechnen und dann bekommst Du mit $\frac{N\left(t\right)}{N_0}=0,99988^t=0,63\ \ \to t\ =\ \frac{\ln\left(0,63\right)}{\ln\left(0,99988\right)}\approx3850$

ein leicht anderes Ergebnis. Das ist aber den ganzen Rundungen geschuldet, die beide Lösungswege beinhalten.