Hilfe bei folgender Mathe Aufgabe zum Thema ganzrationale Funktionen?
Folgende Funktion ist gegeben:
f(x)= x^3-18x^2+81x+300
0<x<12 (steht für die Monate)
Aufgabe lautet: Berechnen Sie den Zeitraum, in dem der Absatz abnimmt.
4 Antworten
Du berechnest
- den Tief- und den Hochpunkt (Extremwerte).
- Extremwerte = 1. Ableitung = 0 setzen und deren Nullstellen ausrechnen
- die x-Werte in die 2. Ableitung einsetzen und schauen ob Hoch- oder Tiefpunkt
- danach Hochpunkt x - Tiefpunkt x = dein gesuchter Zeitraum.
Warum?
Weil die Funktion vom Hochpunkt bis zum Tiefpunkt fällt = Abnahme des Absatzes.
PS. Anhand der Funktion tippe ich auf folgende Lösung: 6 Monate
Gibt es einen anderen Lösungsweg um auf genau 6 zu kommen oder kann man es einfach vertauschen so dass man tiefpunkt minus hochpunkt
Danke, aber nach dieser Rechnung: Hochpunkt minus Tiefpunkt kommt -6 raus. Will zwar nicht pingelig wirken aber das korrekte aufschreiben des Lösungsweges ist wichtig
Man sieht aus der Zeichnung,daß der Absatz zwischen den Maximum und Minimum zurück geht,Steigung f´(x)=m=negativ
Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0
Bedingung Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0
f(x)=x³-18*x²+81*x+300 nun ableiten
f´(x)=3*x²-36*x+81 nun die Nullstellen ermitteln
dividiert durch 3
f´(x)=x²-12*x+27 nun die p-q-Formel Anwenden
p=-12 und q=27
x1,2=-(-12)/2 +/- Wurzel((-12/2)²-27)=6 +/- Wurzel(36-27)
x1,2=6+/- 3
x1=6+3=9 und x2=6-3=3
nun prüfen,wo ein Maximum oder Minimum vorliegt
f´´(x)=6*x-36
f´´(9)=6*9-36=54-36=18>0 also ein Minimum
f´´(3)=6*3-36=18-36=-18<0 also ein Maximum
abfallende Kurve zwischen xo-xu=9-3= 6 Mon
Ableitung von f(x) bilden
f'(x) = 3x^2 - 36x + 81 = 3(x-3)(x-9)
Nimmt der Absatz ab, ist die Ableitung ( Steigung ) negativ.
Für welche x gilt f'(x) < 0 ?
f'(x) hat die beiden Nullstellen +3 und +9. Dazwischen ist f'(x) < 0, denn f'(x) ist stetig und f(4) z.B. ergibt -15.
Die Absatz nimmt also im Intervall 3 < x < 9 ab.
Du musst schauen, wo die erste Ableitung
negativ ist. Also
3x² - 36x + 81 < 0
Probe: Zwischen 3 und 9 (sieht man auch an der Zeichnung)