Formel Umstellen?
Hallo Leute,
ich zweifle an einer einfachen Aufgabe.
Wie würde die Formel aussehen, wenn ich es auf d umstellen müsste?
Durch die Eingabe im Taschenrechner weiß ich das d 40 ist, aber in der Prüfung ist ja verlangt, dass man den Rechenweg zeigt.
Und ist Euch vielleicht eine online Seite bekannt, wo man solche Formelfragen eingibt und es die Lösung herausspuckt?
Danke und Grüße
4 Antworten
[1]: Wenn die gesuchte Variable (hier: d) im Nenner eines Bruches steht, ist es oft empfehlenswert mit dem Nenner des Bruches (hier: c - d) zu multiplizieren, damit die Variable nicht mehr im Nenner eines Bruches steht.
[2]: Dann möchte man weiter nach d auflösen. Aufgrund der Klammer hat die Rechnung c - d in der Klammer eine höhere Priorität als die Multiplikation mit a außerhalb der Klammer. Man kann nun die (hier schwächer gebundene) Multiplikation mit a wegbekommen, indem man (als Gegenoperation zur Multiplikation mit a) durch a dividiert.
[3a] und [4a]: Bei c - d kann man das c auf die andere Seite bekommen, indem man c subtrahiert. (Falls dir das nicht klar ist, kannst du c - d auch als c + (-d) sehen. Und die Gegenoperation zur Addition „plus c“ ist die Subtraktion „minus c“.) Dann bleibt noch -d auf der linken Seite übrig. Umkehren des Vorzeichens (natürlich auf beiden Seiten der Gleichung) liefert dann, dass d allein auf der linken Seite stehen bleibt.
Alternativ [3b] und [4b]: Man kann zunächst d addieren, um d mit einem positiven Vorzeichen dastehend zu erhalten. Damit d dann allein auf einer Seite der Gleichung übrig bleibt, kann man dann noch b/a subtrahieren.
[5]: Einsetzen der gegebenen Werte.
[6]: 15000/250 = 60 berechnet.
[7]: -60 + 100 = 100 - 60 = 40 berechnet.
Naja. Bei einer Gleichung bleibt der Wahrheitsgehalt erhalten, wenn man auf beiden Seiten die gleiche Äquivalenzumformung durchführt. Im konkreten Fall hat man auf beiden Seiten das Vorzeichen umgekehrt. Wie beispielsweise mit konkreten Zahlen bei...
-40 = -40
↓ Vorzeichen umkehren ↓
40 = 40
============
Oder beispielsweise...
-40 = 60 - 100
↓ Vorzeichen umkehren ↓
40 = -(60 - 100)
Wobei dann bei -(60 - 100) das Minus vor der Klammer das Vorzeichen bei jedem Summanden ändert, wenn man die Klammer auflösen möchte. So wird dann 60 zu -60 und -100 zu +100.
40 = -60 + 100
============
Und genauso ist es hier etwas allgemeiner mit den Variablen aufgeschrieben...
-d = b/a - c
↓ Vorzeichen umkehren ↓
d = -(b/a - c)
d = -b/a + c
============
Bzw. kann man das Ändern des Vorzeichens auch als Multiplikation mit -1 sehen, wenn man möchte. Denn es ist (-1) ⋅ d = -d. Bzw. es ist (-1) ⋅ (-d) = d.
Also...
-d = b/a - c
↓ Multiplikation mit -1 ↓
(-1) ⋅ (-d) = (-1) ⋅ (b/a - c)
[Auf der linken Seite wird nun (-1) ⋅ (-d) zu d. Und auf der rechten Seite kann man ausmultiplizieren, um (-1) ⋅ b/a - (-1) ⋅ c, was dann gleich -b/a + c ergibt.]
d = -b/a + c
Multipliziere beide Seiten mit (c-d), um den Nenner aufzulösen, das ergibt denn a * (c-d) = b.
Teile beide Seiten durch a, denn hast du c-d = b/a.
Subtrahiere c von beiden Seiten, denn hast du -d = (b/a) - c
Jetzt nur noch beide Seiten mit -1 multiplizieren, um d positiv zu machen.
Die Endgültige Formel lautet denn also: d = c - (b/a)
Bis -d = (b/a) -c verstehe ich, aber ab beide Seiten mit -1 multiplizieren checke ich nicht mehr weiter.
Uns fiktiv einfach was ausdenken kapiere ich nicht.
Wann setzt man den -1 Multiplikation oder Division ein?
Das Ziel ist ja, dass wir d alleine stehen haben. Aktuell steht da aber -d. Multipliziert man beide Seiten einer Gleichung mit (-1), kehren sich alle Vorzeichen um.
Als Beispiel: -d = 10, wenn wir also beide Seiten mit -1 multiplizieren, rechnen wir im wahrsten Sinne
(-1)*(-d) = (-1)*10 was denn d = -10 ergibt.
Du kannst auch natürlich auch mittels Division die Vorzeichen loswerden, das wäre denn: (-d) / (-1) = 10 / (-1), ergibt ebenfalls d = -10.
Die Multiplikation mit -1 wird aber eher gelehrt, weil es einfacher ist. Bei der Division mit -1 muss man Brüche aufstellen, was etwas mehr Schreibaufwand ist.
Das aus -d durch (*-1) ein d wird kann ich noch verstehen. Aber wieso aus -c der hinten als letztes steht dadurch nach vorne gerückt und plötzlich heisst es c-, checke ich nicht, ist mir eine Nummer zu groß jetzt? Ich glaub ich muss mich mit halbe Punkt zufrieden geben. Schreibe Grundformel und ohne umstellen das Ergebnis.
Weil die Reihenfolge bei Addition und Subtraktion egal ist, nennt sich Kommutativgesetz.
Dass das c sich verschiebt, liegt daran, dass wir umsortieren. Als Beispiel:
-(b/a) + c ist dasselbe wie c - (b/a). Grob dargestellt ist es wie: -5 + 3 = -2 das ist ja dasselbe wie 3 - 5 = -2
Lass dich bitte nicht davon verwirren. Merke dir nur, dass mit *(-1) die Vorzeichen switchen. Ohne umsortieren würde die Formel denn wie folgt aussehen:
d = -(b/a) + c
(b/a) war ja bereits positiv, ist durch die Multiplikation mit (-1) also negativ geworden.
c war negativ, ist dementsprechend positiv geworden.
Bleib locker, kenne deinen Frust. Wenn es dir nicht einleuchten sollte, kannst du gerne fragen
In jeder Gleichung der Form
Bruch = Bruch
also
(Z_Links/N_Links) =(Z_Rechts/N_Rechts)
darf man einzelne Faktoren "übers Kreuz austauschen", also von links_oben nach rechts_unten oder von rechts_oben nach links_unten etc.
Beispiel:
(x*u*(d-4)) / (A*(z+7)) = (k*y) / (G*h)
kann z.B. umgeformt werden zu
(x*G*(d-4)) / (k*(z+7)*y) = (A) / (u*h)
Dies ergibt sich auch durch das Erweitern auf den Hauptnenner.
Natürlich muss man dann noch auf den sinnvollen Definitionsbereich prüfen (in keinem Nenner darf ein Faktor Null stecken !).
a×c-d=b |÷a
b/a=c-d |-c
(b/a)-c = -d |÷-1
=d
Denke ich
Danke für deine ausführliche Mühe und Erklärung.
Ab 3a und 4a, genau an dem punkt "Umkehren des Vorzeichens" hänge ich.
Mir ist diese Vorgehensweise nicht so intensiv bekannt.