Flächeninhalt unter linearen Abbildungen?
Hey, hier habe ich eine Aufgabe, die ich gar nicht verstehe. Ich brauche sehr dringend Hilfe von euch und freue mich sehr über schnelle Antworten.
Vielen Dank
2 Antworten
Dies ist ein Fall für den Transformationssatz:
https://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz
Der Flächeninhalt ist gegeben durch:
A = Int[0,1][0, 1]{ 1 * |det(DPhi(x))| dx1*dx2 }
wobei DPhi(x) die Jacobimatrix von Phi(x) ist.
Also grundsätzlich:
(ich shcreibe mal f statt Phi)
mit x aus E gilt:
f(x)=f((x1,x2))=x1*f(1,0)+x2*f(0,1)
was nun aber f(1,0) und f(0,1) sind oder wie du damit einen Flächeninhalt bestimmen kannst, weiß ich nicht.
wobei man allerdings ja sagen dass
0<=f(x)<=f(1,0)+f(0,1)
weil x1 und x2 eben von 0 bis 1 möglich sind
An sich könnte man wohl sagen dass:
f(E)={x1*f(1,0)+x2*f(0,1)|0<=x1,x2<=1}
aus naheliegendem grund müsste dann f(E) ein parallelogramm bilden, wobei die 2 Seiten durch die Vektoren f(0,1) und f(1,0) entsprechen.
Und rein zufällig hat jenes parallelogramm einen Flächeninhalt, der gleich dem Betrag des kreuzprodukts der 2 Vektoren ist (laut Definition des Kreuzprodukts).
Demnach müsste deine Antwort sein:
A=|f(0,1) x f(1,0)|
Ich garantiere aber für nichts :-)