Flächenberechnung eines Zylindersund nur das Volumen ist gegeben?
Die Aufgabe lautet so:
Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000l gewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal ist?
2 Antworten
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Schule
Ich weiß ja nun nicht, in welcher Klassenstufe du bist und was man in dieser Stufe schon alles kann.
Aber ich würde mir folgendes überlegen:
- Es gibt erstmal zwei Größen, die man ändern kann: Den Radius und die Höhe des Zylinders.
- Da das Volumen vorgegeben ist, ergibt sich aber die eine Variable aus der anderen: Zu jedem Radius gibt es nur eine einzige Höhe, die das korrekte Volumen ergibt. Also brauchst du keine 2. Variable für die Höhe, sondern kannst diese vom Radius ableiten. Juhu, wir haben doch nur eine Variable.
- Aus jedem Radius kannst du die Außenfläche des Zylinders ausrechnen. Denn für die Höhe kannst du ja deine Formel einsetzen, die dem Radius die eine passende Höhe zuordnet.
- Dadurch bekommst du eine Funktion: Die Außenfläche ist eine Funktion des Radius'.
- Der Tiefpunkt dieser Funktion ist die Stelle mit dem Radius, der ein 1000l-Fass mit der kleinsten Außenfläche bewirkt. Also einfach ableiten und den Tiefpunkt feststellen.
Wenn ich mich nicht sehr irre, ist der Blechverbrauch immer gleich. Bei 1000 l Inhalt ist es schnuppe, ob der Zylinder einen großen Umfang und eine geringe Höhe hat oder umgekehrt. Der Verbrauch bleibt.
Demnach hat ein Zylinder mit einem Radius von 1 cm und einer Höhe von 318 m die gleiche Außenfläche wie ein Zylinder mit einem Radius von 50 cm und einer Höhe von 1,27 m? Oder ein Zylinder mit einem Radius von 20m und einer Höhe von 7 mm?