Fadenpendel bewegungsgleichung?
Hey iwie verstehe ich bei folgenden Aufgaben nicht ganz, was von mir erwartet wird, bzw.was der Ansatz ist.
Die Idealisierung einer punktformigen Masse m an einem masselosen
Faden der Länge L wird als mathematisches Pendel bezeichnet.
Ein solches Pendel werde, wie in nebenstehender Abbildung gezeigt,
zur Zeit t = 0 um einen kleinen Winkel phi = phi0 aus der Vertikalen
ausgelenkt und losgelasssen. Das Pendel schwinge danach reibungsfrei.
a) Geben Sie die Kräfte an, die auf die Pendelmasse wirken
und zeichnen diese in die Skizze ein. Bestimmen Sie die
Rückstellkraft des Pendels, d.h. die Kraft die das Pendel in die
Gleichgewichtslage zuruckzwingt, als Funktion von ¨phi. Zeichnen
Sie die entsprechende Kräftezerlegung ebenfalls in die
Skizze ein. Fur nicht zu große Auslenkungen kann die
Näherung sin phi = phi benutzt werden. Stellen Sie mit dieser
Näherung eine Bewegungsgleichung für phi(t) auf.
b) Zeigen Sie, dass die harmonische Schwingung,
Phi(t) = A sin (wt + alpha)
diese Bewegungsgleichung fur eine passende Wahl von w erfüllt. Bestimmen Sie aus der Anfangsbedingung phi(0) = phi0 und phi(mit punkt oben drauf)(0) = 0 die Größen A und alpha.
c) Die Winkelgeschwindigkeit w hängt mit der Periode T der Pendelschwingung wie
folgt zusammen:
W=2π/T
Bestimmen Sie die Periodendauer als Funktion der Pendelparameter und der Erdbeschleunigung.
Meine Ideen:
Also das mit den Kräften einzeichnen habe ich hinbekommen und ich hab auch cerschiedene Beziehungen aufgestellt wie Fr= Fg*sin(phi) bzw.Fr=-mg*sin(phi) aber keine Ahnung ob die das wollen für die gleichung der rückstellkraft. Die Kräfte die generell auf die Pendelmasse wirken sind ja Rückstellkraft, Fadenkreuz und Gewichtskraft.Für den zweiten Teil der Kräfteeknteilung hab ich die Gewichtskraft in ihre Komponenten FG tabgebtial zur Kreisbahn und FGn orthogonal zur Kreisbahn zerlegt.wobei ja FGtan der Rückstellkraft entspricht.
Aber nun weiß ich nicht wie ich die Bewegungsgleichung für Phi(t) aufstellen soll. Was ist phie(t) überhaupt? Also wie nann ich denn für einen Winkel eine Bewegungsgleichung aufstellen?
b)hier hab ich absolut keine Agnung was die von mir wollen.was wäre den keine passende Wahl für w?Und wie soll ich A und Alpha bestimmen?
2 Antworten
Eine Bewegungsgleichung ist einfach eine Differentialgleichung, die dein Problem beschreibt. Du musst sie in Teilaufgabe a) noch nicht lösen sondern einfach aufstellen. In vielen Fällen ist es von der Form m*a= f(x)
Wobei a die 2. Ableitung von x ist. Du musst also irgendwie einen Term haben in der die 1.(oder auch 2. ) Ableitung von Φ drin steht und das Φ selber auch. Das kann auch innerhalb eines Sinus oder Cosinus oder sonst irgendeiner Funktion stehen (Du machst dann sowieso eine Kleinwinkelnäherung). Ich weiß nicht ob das hilft aber vielleicht hast du hierdurch paar mehr Ideen.
Bei der b leitest du diesen gegebenen Ansatz ab setzt Φ und die Ableitung in deine DGL aus der a ein und schaust für welche ω die Gleichung erfüllt ist
Die Rückstellkraft ist die Tangentialkomponente der Gewichtskraft (die Radialkomponente spielt hier keine Rolle), also Masse mal Tangentialbeschleunigung und das ist Masse mal Fadenlänge (Radius) mal Winkelbeschleunigung (zweite Ableitung des Winkels nach der Zeit). Das kannst Du gleichsetzen mit -m * g * sin(φ) und so erhältst Du die DGL, die für kleine Winkel vereinfacht werden kann (sin(φ) = φ), zudem kürzt sich m heraus. Die Lösung dieser DGL führt zur gesuchten Bewegungsgleichung.