Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen?
Könnte mir jmd. mit dem Ansatz helfen? Wäre sehr dankbar:)
2 Antworten
Hallo,
zunächst einmal: Nimmt das halbe Rechteck Extremwerte an, gilt dies auch für das ganze Rechteck.
Da die Funktion und somit auch das Rechteck achsensymmetrisch zur y-Achse sind, reicht es, nur die rechte Hälfte des Rechtecks zwischen 0 und u zu betrachten und zu überlegen, für welches u die Fläche bzw. der Umfang extrem werden.
Das hat den Vorteil, daß die Breite des Rechtecks jetzt einfach u ist und die Höhe f(u),
also 9-u².
Da Breite mal Höhe bekanntlich die Fläche eines Rechtecks ergeben, kannst Du nun eine Formel für die Fläche aufstellen, die nur von u abhängig ist:
A(u)=u*(9-u²).
Der Extremwert liegt da, wo die Ableitung A'(u) gleich Null wird.
Am besten multiplizierst Du die Klammer vorher aus, dann läßt sich das Ding ohne Anwenden der Produktregel ableiten.
Für den Umfang eines Rechtecks gilt U=2a+2b, also die Summe der vier Seiten, von denen die beiden gegenüberliegenden bekanntlich gleich lang sind, sonst wäre es kein Rechteck.
Betrachtest Du auch hier nur das halbe Rechteck, besteht der halbe Umfang aus den Abständen zwischen 0 und u oben und unten und f(u), also der Höhe.
Somit: U(u)=2u+9-u².
Ableiten und auf Null setzen.
Die gefundenen Werte für u sind - obwohl nur das halbe Rechteck berechnet wurde - auch die u-Werte für die maximale Fläche und den maximalen Umfang des gesamten Rechtecks aufgrund der Symmetrie. Wenn Du es so machst, mußt Du Dich nicht mit irgendwelchen Vorzeichen abplagen.
Herzliche Grüße,
Willy
Ach ne passt , habe es verstanden !Alles gut . Es muss ja diesmal der maximale Umfang sein ups
Genau. Für den Umfang gilt ein anderer Extremwert. Du mußt Fläche und Umfang extra berechnen.
rechtes halbes Rechteck
A = u • f(u) maximal
A = u • (-u²+9)
Klammer lösen
A ' = 0
u berechnen
dann ist Breite 2u und Länge f(u)
Danke! Über die Einheit kann nich gesagt werden, oder ?
Da nichts angegeben ist, sind es halt Längeneinheiten für den Umfang und Flächeneinheiten für die Fläche in bezug auf die Einheiten des Koordinatensystems.
Vielen Dank:) Für den Unfang brauche ich das Ganze doch gar nicht noch einmal ausrechnen oder? Ich kann die u-Werte aus a)nehmen und einsetzen in die Formel für den Umfang oder nicht ?