Binfaden Länge?
Aufgabe: Ein roter Bindfaden wird gleichmäßig um einen geraden 18 cm hohen Kreiszylinder gewickelt. Der Faden beginnt bei der Grundfläche, geht genau viermal um den Zylinder und endet bei der Deckfläche des Zylinders. Berechne die Länge des Fadens, wenn der Umfang des Zylinders 6cm beträgt.
Hinweis: Betrachte die Figur, die durch das Aufschneiden des Zylinders entlang der Höhe entsteht.
…
Problem/Ansatz: Können die Matheexperten hierfür einen Term + Erklärung geben?
Wenn man den Zylinder aufschneidet müsste doch ein Rechteck entstehen, oder?
Mein Vorschlag, da leider keine Lösungsvorschläge vorhanden...
erste Kathete entspricht 6 cm (=Umfang)
zweite Kathete ergibt sich aus 18 cm Höhe : 4 gleichmäßige Wicklungen) = 4,5 cm
gesucht wird die Hypotenuse
Satz des Pythagoras: 6 hoch 2 + 4,5 hoch 2 = 56,25
Die Wurzel aus 56, 25 ziehen = 7,5
7,5 mal 4 Umdrehungen = 30 cm
Der faden ist also 30 cm lang.
Würde mir jmd zustimmen?
4 Antworten
Die Länge des Fadens, der viermal um einen Zylinder mit einem Durchmesser von 6 cm gewickelt ist, kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
In dem Fall sind a und b die beiden Katheten des Rechtecks auf der Mantelfläche des Zylinders. Die Hypotenuse h ist die gesuchte Fadenlänge.
a ist die Höhe des Zylinders = 18 cm
b ist 4x der Umfang des Zylinders, der mit 4*r*π⋅(r=d/2) = 4*3*π berchnet wird
Der Wert h ist ungefähr da π ja "unendlich" ist nach dem Komma. Hoffe das stimmt, bin schon lange aus der Schule. 🙋♂️😉
Nachtrag:
Du hast in deinem Vorschlag einen Denkfehler. Der Durchmesser 6cm ist NICHT der Umfang. U= d/2 * π .... und das dann mal 4.
a = 18cm b = 4*3*π = 12π
Naja, stell Dir vor, der Zylinder wird auf die Seite gelegt und 4 Umdrehungen gerollt: dann ergibt die vom Zylinder berührte Bodenfläche genau ein Rechteck mit der Höhe und dem 4-fachen Umfang des Zylinders als Breite und Länge, und der Faden macht genau die Diagonale dieses Rechtecks aus, falls man ihn beim Rollen abgewickelt hat.
Und Ja, Deine Ergänzung zur Frage ist auch eine richtige Lösung: da hast Du ja gedanklich den Zylinder in 4 gleiche Stück geteilt, die jedes genau 1-mal umwickelt sind.
Schade, aber das ist leider kein mathematischer Term...denn die Hypotenus ist der Bindfaden, der müsste ja da er 4 Umdrehungen hat 18 x 4= 72 cm lang sein. Aber wo und wie finde ich die katheten heraus? Und vor allem wie sieht der Term dazu aus?
So vielleicht
leider falscher Ansatz; der Umfang ist x4 und nicht die Höhe wie gezeichnet. Höhe bleibt fix bei (a)=18 und dann (b)=4*(d/2)*π
neee, eben nicht so. Die Abrollung des Fadens auf das Rechteck ergibt die Diagonale des ganzen 18*24 Rechtecks. (das Rechteck ist so hoch wie der Zylinder, also 18 hoch, und 4 mal so lang wie der Umfang des Zylinders, also 4*6=24. Die Diagonale ist also Wurzel( 18² + 24² ) = Wurzel(900) = 30
Das heißt in Zahlen ausgedrückt, was genau?
Ich verstehe Deine "vier Mantelflächen" nicht. Das ist 1 Zylinder und 1 Mantelfläche um die der Bindfaden 4-mal gewickelt wird, bis er oben ankommt. Damit komme ich auf 30 cm.
@evtldocha also ist meine Rechung jetzt korrekt?
Dadurch entstehen für den Faden vier Umdrehungen um den Umfang.
In meiner modifizierten Antwort steht doch 7,5 genau viermal in der Grafik drin.
Stell dir vor, der Faden würde eine Färbung auf der Unterlage hinterlassen. Jetzt rollst du den Zylinder vier Runden, dann ist die Spur des Fadens auf der Unterlage.
Also nochmal die Frage du kommst wie ich mittlerweile auch, auf insgesamt 30 cm Länge??? Richtig oder falsch?
Wir haben das selbe Ergebnis: Stell dir deine Rechtecke so verschoben vor, dass der Faden in einer Linie verläuft.
bei der Rechnung kommen wir im Übrigen auch auf 30 cm Länge
ok ich hab zwar keine Ahnung, danke dafür nur die Frage ist ja wie kommt der Satz des Pythagoras in Zahlen ausgedrückt jetzt hier konkret vor
Ich habe Dir sogar noch alle Dreiecke mithilfe der roten gestrichelten Linien eingezeichnet. Die Höhe eines jeden Dreieck ist 6 cm (der Umfang) und die Grundlinie ist 18 cm / 8 = 2,25 cm und damit ist das Quadrat Länge "l" des jeweiligen Bindfadens l² = 6² + 2,25². Jetzt zählst Du noch ab wie viele das sind und kommst zu dem Ergebnis Gesamtlänge L = 8 · l
(die gestrichelten Seiten der Dreiecke entsprechen dem Bindfaden auf der Rückseite der Pappe)
aber 18 durch 8 darf es doch nicht sein, es muss doch 18: 4 sein, da 4 mal umwickelt wird, also folglich 6 hoch 2 + 4,5 hoch 2 = 56,25
die Wurzel von 56,25 ergibt 7,5 und das ganze wiederrum mal 4 = 30 cm
Ich habe ja meine ursprüngliche Antwort gelöscht und neu geschrieben, also ist mein erster Kommentar auch falsch gewesen.
Da es viermal gewickelt werden soll, nimm vier Mantelflächen. Dann Satz des Pythagoras nutzen.
ok also M= u x h in dem Fall 6cm x 18cm = 108cm und wo genau und vor allem wie nutze ich jetzt den Satz des Pythagoras?
ok also M= u x h in dem Fall 6cm x 18cm = 108cm ???
Mantelflächeninhalt braucht man hier nicht. Das REchteck besteht aus vier Mantelflächen.
Du bekommst ein Rechteck mit der Unterseite aus vier Umfängen und der Höhe 18 cm. Der Faden liegt dann in der Diagonalen.
Ja aber wie sieht das denn jetzt als Term aus, tut mir leid aber jetzt verstehe ich nur noch Bahnhof
Mantelflächeninhalt braucht man hier nicht.
Was bitte soll der Mantelflächeninhalt sein? 🙈😉
Der Inhalt der Mantelfläche. Beim Zylinder 2 pi r * h
https://www.mathe-lexikon.at/geometrie/geometrische-koerper/zylinder/mantelflache.html
Die Mantelfläche kenne ich, Mantelflächeninhalt ist m.M.n. kein Mathem. Begriff. Kann mich aber irren bin schon lange aus der Uni. ^^
Nein, der Faden ist die Gesamtdiagonale (Hypotenuse) in dem Rechteck aus vier Mantelflächen.
Die erste Diagonale 4 Umfänge, die zweite Kathete ist die Höhe,