Europabrücke 2004?
Die Europabrücke bei Innsbruck war bis 2004 die höchste Brücke Europas. Von der Brücke geht es bis zum Fluss Sill 190 m in die Tiefe. Die ersten drei Sekunden eines Bungee-Sprungs von der Europabrücke verlaufen im freien Fall. Diese Bewegung wird durch die Funktion s mit s(t) = 4,905 t^2 (t≥ 0 in Sekunden, s (t) in Meter) beschrieben.
a)Welche Strecke legt ein Springer während dieser Zeit zurück?
b)Welche Geschwindigkeit erreicht er nach 1, 2 bzw. 3 Sekunden?
C)Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit während diese Phase?
1 Antwort
Damit können wir doch weiterüberlegen :)
Am Anfang der Aufgabenstellung stehen einige Informationen die für die Berechnung nicht wichtig sind. Die ersten wichtigen Angaben sind:
190 m in die Tiefe, drei Sekunden freier Fall
Der freie Fall wird durch folgende Funktion beschrieben:
Also bekommt die Funktion eine Sekundenangabe und gibt dann aus, wie viele Meter der Bungee-Springer in diesen Sekunden gefallen ist.
In Teil a) ist nun also eine Meter-Angabe (nämlich die Strecke) gesucht. Die Zeit, die hier erwähnt wird, finden wir im Text.
Hast du jetzt eine Idee, wie wir Teil a) lösen können?
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In Teil b) wird nun nach einer Geschwindigkeit gefragt. Gegeben haben wir bisher eine Funktion, die die Strecke (in Abhängigkeit von der Zeit) angibt.
Geschwindigkeit ist nichts anderes als die Änderung der Strecke zu jeder Zeit.
Was könnten wir dann hier berechnen?
Antwort: Wir berechnen die Ableitung!
Die Ableitung gibt also die Geschwindigkeit (in m/s) zu jedem Zeitpunkt t (in s) an.
Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu erhalten, müssen wir den Zeitpunkt also in s'(t) einsetzen. Wir erhalten eine Geschwindigkeitsangabe mit der Einheit m/s, also Meter pro Sekunde.
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In Teil c) suchen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit in d "dieser Phase" (damit ist die Phase zwischen 0 und 3 Sekunden gemeint).
Dafür kann uns eine Skizze helfen: Zeichne die Funktion s'(t) in ein kleines Schaubild? Was fällt dir auf? Wie könnten wir hier die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen?
(Stichwort: durchschnittliche Änderungsrate vielleicht kennst du dazu ja schon eine Formel)
Die Formel für die durchschnittliche Änderungsrate ist:
wobei f jetzt die ursprüngliche Funktion ist (also s(t) !) und a der Anfangszeitpunkt ist (also t = 0) und b der Endzeitpunkt der gesuchten Phase (also t = 3).