Mathe Stochastik Urnenmodell
Ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe, da ich die Lösung von mir zu "billig" finde. Danke für eventuelle Korrekturen!
Aufgabe: Aus einer Urne mit drei blauen, fünf weißen und zwei gelben Kugeln werden n Kugeln mit zurücklegen gezogen. Nun werden 100 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist der Erwartungswert von X? Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden dabei 28 bis 32 blaue Kugeln gezogen?
Ansatz:
0,3 x 100 = 30
folglich ist der Erwartungswert 30 Kugeln.
σ= √[ 100x0,3x(1-0,3) ] = √21
Damit hätte ich ja die Varianz bestimmt, ist das hierfür relevant? Aber was mach ich jetzt? Ich habe keine Ahnung mehr und ich finde auch nichts dazu in meinen Büchern (obwohl die Aufgabe sichtbar einfach scheint).
Danke für Ansätze :)
3 Antworten
Grundsätzlich gut, aber formal noch nicht ganz richtig. "Erwartungswert von X"??? Was ist den X? Das ist noch gar nirgens definiert. Also was ist ein Erfolg? Klar, kann ich auf Blau raten, da es in der nächsten Frage um blaue Kugeln geht, aber das sollte irgendwo stehen. X = Anzahl der gezogenen Kugeln, die blau sind.
Zweiter Teil: Gefragt ist P(27<k<33) und das ist gleich P(k<32) - P(k<27). Das wiederum dürfte mit Taschenrechner machbar sein. (Bei meinem Taschenrechner heißt der Befehl binomcdf)
Sorry, ich meinte folgendes:
(100C32) x 0,3^32 x (1-0,3)^68 = Wahrscheinlichkeit für 32 Ziehungen.
und davon zieh ich dann die Wahrscheinlichkeit für 28 Ziehungen ab, was ich mit der selben Formel ausgerechnet habe?
EDIT für obigen Beitrag: Die ganzen "k" müssen "X" heißen.
Ne, mit dem Binomialkoeffizient alleine kommst du hier nicht weiter. Wenn dein TR das nicht kann, dann belibt dir noch dieser Ansatz:
P(27<X<33) = P(X=28) + P(X=29) + P(X=30) + P(X=31) + P(X=32)
Also für alle einzeln Ausrechnen und dann addieren. Und für Einzel-Ereignisse müsst ihr ja ne Formel gemacht haben. Dürfte so ca. so aussehen:
P(X=k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
mit P(X=k) die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge; p die Einzel-Erfolgswahrscheinlichkeit; n die Anzahl der Experimente
Ne, das ist die Wahrscheinlichkeit für GENAU 32 Erfolge. Was nötig wäre für den ersten Ansatz ist die Wahrscheinlichkeit für MAXIMAL 32 Erfolge. Also alles zwischen 0 und 32. Aber wenn das dein Taschenrechner nicht kann, dann ist das Müll. Von Hand geht das nicht in realistischer Zeit. Dafür siehe mein Kommentar unten.
Okay, vielen Dank! Geht das zufällig mit dieser Summentaste?
dieser Summentaste
??? Ich hab doch keine Ahnung, was du für ein Taschenrechner hast, geschweige denn, was die Summen-taste da macht.
X scheint hier die Anzahl der blauen Kugeln zu sein.
Erwartungswert und Varianz allein sagen nur bei wenigen Verteilungen Genaueres über die Wahrscheinlichkeit aus, dass das Ergebnis eines Experiments innerhalb eines bestimmten Intervalls liegt. Also müsstest du wohl die Wahrscheinlichkeiten für X=28 bis X=32 ausrechnen oder die Wahrscheinlichkeitsverteilung (sinnvoll) durch eine leichter handhabbare stetige Verteilung ersetzen.
EDIT: X sei die Anzahl der blauen unter den gezogenen Kugeln. Sorry, hatte das vergessen.
Diese Möglichkeit habe ich auf meinem TR leider nicht. Heißt das nun, dass ich folgende Rechnung habe:
(100 über 32) - (100 über 28) =?