Erwartungswert Anzahl Ziehungen für 4 Asse aus 9 Karten?
Folgendes Szenario:
Ein Kartenspiel mit 9 Karten, davon sind 4 Asse und 5 sonstige Karten.
Das Spiel ist vorbei, so bald die 4 Asse gezogen wurden. Best case also 4x ziehen, worst case 9x ziehen.
Bei wie viel mal Ziehen liegt der Erwartungswert?
Meine Überlegung dabei ist, dass nur Möglichkeiten gültig sind, bei denen am Ende ein Ass steht und man die Möglichkeiten dadurch ermitteln kann, in dem man die Anzahl der "Nieten" aus n-1 anordnet.
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Daraus ergäbe sich der Erwartungswert:
Durchschnittlich wird man also 8x ziehen müssen um die 4 Asse zu bekommen.
Zugegeben stehe ich aber etwas auf dem Schlauch und weiß nicht, ob ich meinen Berechnungen trauen kann. Ist das richtig gedacht oder habe ich irgendwo einen Fehler in der Aufstellung?
Danke für eure Zeit.
5 Antworten
Sollte passen, wenn ich jetzt nicht auch einen Denkfehler drin habe...
Die Anzahl an Möglichkeiten stimmt: Du ordnest ja quasi 4 Karten auf 9 Plätze an (Reihenfolge ist egal), und dafür gibt es (9 über 4)=126 Möglichkeiten, die "falschen" Karten werden einfach auf die leeren Plätze verteilt.
Um diese 4 auf die ersten 4 Plätze zu platzieren gibt es (4 über 4)=1 Möglichkeit;
auf die ersten 5 wären (5 über 4)=5 Möglichkeiten, aber da ist die Variante AAAAX mit enthalten, also muss diese abgezogen werden. Das macht man bei allen weiteren Zuganzahlen genauso, was Du aber mit Deiner Überlegung eleganter gelöst hast!
Vergiss meine erste Antwort, ich fange nochmal von vorne an. Wie gesagt, ein Erwartungswert von 8 schien mir zu hoch, aber die 6.5 aus dem ersten Lösungsansatz hingegegen zu niedrig. Es geht immer noch darum, was vor dem vierten As passiert, das ist hypergeometrisch verteilt. Beim letzten As haben wir eine Gleichverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl Versuche ist also:
4: (4 über 3)(5 über 0)/(9 über 3)*1/6
5: (4 über 3)(5 über 1)/(9 über 4)*1/5
6: (4 über 3)(5 über 2)/(9 über 5)*1/4
7: (4 über 3)(5 über 3)/(9 über 6)*1/3
8: (4 über 3)(5 über 4)/(9 über 7)*1/2
9: (4 über 3)(5 über 5)/(9 über 8)*1/1
Man prüfe, dass die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt!
Der Erwartungswert ist damit (wieder) 8!
Mein Gedankengang war also richtig und das Computerprogramm hat es bestätigt.
Danke dir! :)
direkt der erste fehler ist, dass M(5)=4, da ja mindest 5 karten als erste karte gezogen werden können und somit M(5) mindestens 5 sein muss
da es unter 9 karten 4 asse gibt, muss es 5 andere karten geben und damit auch 5 möglichkeiten
Nein, denn wenn die 5 anderen Karten zu erst gezogen worden wären, wären wir direkt bei den 9 Karten angelangt:
X X X X X A A A A
Es geht darum die gültigen Möglichkeiten zu ermitteln, also zu gucken wie viele Möglichkeiten gibt es, mit 5x ziehen die 4 Asse zu bekommen?
Und das sind eben nur 4:
X A A A A
A X A A A
A A X A A
A A A X A
Aber natürlich lasse ich mir gerne belehren, deswegen habe ich die Frage ja hier eingestellt:
Wie macht man es dann richtig? Wie ermittele ich den Erwartungswert? Könntest du es mir vorrechnen für 4-6, damit ich es für die anderen schlicht kopieren kann, bitte? :)
Falsch, als erste karte können 5 verschiede karten gezogen werden.
zur verdeutlichung nenne ich die asse wie du A und die anderen karten b c d e f.
Damit gibt es die möglichkeiten:
b AAAA
c AAAA
d AAAA
f AAAA
g AAAA
Welches dabei die Niete ist, spielt in der Überlegung aber keine Rolle. In anderen Worten: Die Reihenfolge ist egal.
Wie beim Lotto, wenn du die 10 angekreuzt hast, dann spielt es keine Rolle ob die 10 als erstes, zweites, ..., oder letztes kommt, wird die 10 gezogen, hast du schon mal mindestens ein Kreuz richtig gesetzt.
Ja eben, da die reihenfolge egal ist sind es eben mindestens 5.
Ich denke, du hast die Fragestellung nicht ganz begriffen. Stichwort: Endlicher Automat.
Daher vertraue ich eher der Antwort von Rhenane, ein Community Experte für Mathematik.
Trotzdem danke für deine Zeit! :-)
Ein Erwartungswert von 8 scheint mir zu hoch.
Ich würde auch auf das letzte As abstellen und schauen, was davor passiert ist.
In 4 Versuchen schafft man es in (4 über 3) * (5 über 0) Möglichkeiten, in 5 Versuchen in (4 über 3) * (5 über 1) Möglichkeiten usw. Macht zusammen 128 Möglichkeiten. Der Erwartungswert ist dann 7.5
Die 8 erschien und erscheint mir auch zu hoch (rein vom Gefühl und Logikverständnis her). Ich hätte E grob bei 6/9 * 4 = 24/9 = 2 2/3 -> also um die 9-2,66.. = 6,33.. eingeschätzt.
Beim näheren Ausarbeiten meines Gedankenexperiments hatte ich dann auf einen Erwartungswert von irgendwo unter 8 geschlossen. Aber gedanklich wäre mir nicht aufgefallen, wo der Fehler liegt.
Bei deiner Variante komme ich übrigens auf ein E von 6,5.
E = (4*4*1 + 5*4*5 + 6*4*10 + 7*4*10 + 8*4*5 + 9*4*1) / 128
E = 6,5
Aber mein Gedankenexperiment schien und scheint mir vom Aufbau her korrekt zu sein, deswegen war und bin ich weiter verunsichert.
Das Problem dabei ist, dass ich Anfangs ebenfalls dachte "Kann man nicht einfach den Durchschnittswert (4+9)/2 nehmen?", was ja auch 6,5 wären. Aber müsste dafür nicht jedes Ereignis gleich wahrscheinlich sein?
Praktisch wie beim Würfel -> 1/6 * 1 + 1/6 * 2 ... + 1/6 * 6 = 21/6 = 3,5
Aber hier ist es ja ohne Zurücklegen mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten, daher erscheint es mir unrealistisch, dass es dem Durchschnittswert entspricht.
@Rhenane @eterneladam @fischli386
Gegebenenfalls interessiert es euch. Da ich immer noch nicht sicher war, wo der Erwartungswert liegt und ich schon seit längerem vorhatte, mich mal in Python einzuarbeiten, war dies eine gute Gelegenheit um schon mal die Syntax kennenzulernen!
Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen, habe ich das Spiel einfach 1.000.000 simuliert und das ganze 3x wiederholt und ausgewertet. Der Erwartungswert beträgt tatsächlich 8!
Dazu hatte ich einfach den kostenlosen Service auf https://colab.research.google.com genutzt.
Auswertung:
Code (mit viel Analyse-Kram und Variablen):
import random;
ass_count = 4;
x_count = 5;
carddraw = 0;
draws = 0;
draws_nd = 0;
draws_data = [0,0,0,0,0,0];
runs = 0;
for i in range(0, 1000000):
runs+=1;
ass_count = 4;
x_count = 5;
draws_nd = 0;
for j in range(1, 20):
if ass_count==0:
#if draws_nd==9 or draws_nd==3:
#print(runs);
draws_data[(draws_nd-4)]+=1;
break;
draws+=1;
draws_nd+=1;
carddraw = random.randrange(ass_count + x_count) + 1;
if carddraw <= ass_count:
ass_count-=1;
#print("Run: "+ str(runs) + " | Draw: " + str(draws_nd) + " Result: ASS!");
else:
x_count-=1;
#print("Run: "+ str(runs) + " | Draw: " + str(draws_nd) + " Result: X!");
print("Karten gezogen insgesamt: " + str(draws));
print("Spiel-Durchläufe insgesamt: " + str(runs));
print("Erwartungswert: " + str(draws/runs));
print("\nVier Asse nach X Ziehungen:\n----------------------------")
for i in range(0,len(draws_data)):
print(str(i+4) + " => " + str(draws_data[i]));
1000 Dank für eure Zeit!
Du setzt voraus, dass es dafür 5 Möglichkeiten gibt und das stimmt auch, aber die Möglichkeit
wäre ungültig, da keine 5. Karte gezogen worden wäre, wenn man direkt die 4 Asse gehabt hätte. Entsprechend gibt es nur 4 Möglichkeiten, da die letzte Karte immer ein Ass sein muss.
Ich hatte mir beim Aufstellen schon etwas mehr Gedanken gemacht, trotzdem danke für deine Antwort.