Denkfehler bei rotierenden Bezugssystemen?
Hallo, ich habe eine Frage zu dem Ausschnitt aus dem oben aufgeführten Video. Es geht um die Geschwindigkeit, die aus einem Inertialsystem (IS) in ein rotierendes System transformiert werden soll und umgekehrt.
Dafür drückt er die Geschwindigkeit v im IS durch die Koordinaten aus, was wohlgemerkt die Koordinaten im beschleunigten System sind und multipliziert diese jeweils mit den Basisvektoren um die Koordinaten in IS zu bekommen.
Um die Geschwindigkeit zu erhalten, leitet er diesen Term also nach der Zeit ab.
Da sowohl von der Zeit abhängig sein können (Bewegung im beschl. System) als auch die Basisvektoren (aus Sicht von IS dreht sich ja das Koordinatensystem des beschl. Systems), wendet er die Produktregel an (1. Gleichung auf der rechten Seite im Bild)
Jetzt kommt der Teil, den ich nicht raffe:
Er nimmt sich die Hälfte der Summanden raus:
und interpretiert diese als Geschwindigkeit, die im beschl. System gemessen wird.
Das verstehe ich nicht. Die Geschwindigkeit im beschl. System dürfte doch lediglich
sein, und nicht noch mit den Basisvektoren multipliziert. Irgendwo habe ich gehört, dass hier die Basisvektoren konstant sind, weil ich mich im beschl. System befinde und da ändern sich die Basisvektoren dort nicht ändern . Aber in dieser ganzen Rechnung habe ich die Basisvektoren stets aus dem IS betrachtet, was bedeutet, dass sich ihre Richtung und damit ihre Komponenten mit der Zeit ändern.
Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich hoffe es ist klar, wo's momentan hakt.
Danke im Voraus!
1 Antwort
Der Ortsvektor ist, in der Basis des rotierenden Bezugssystems ausgedrückt (ich bezeichne die Koordinaten und Basisvektoren dieses Systems jeweils mit gestrichenen Grössen):
Leitet man diesen Vektor im rotierenden Bezugssystem ab, erhält man
Der Ausdruck
wäre ein Skalar. Ein Vektor ist immer eine Linearkombination aus Basisvektoren multipliziert mit den Koordinaten bezüglich dieser Basisvektoren.
Nicht so gut finde ich im Video, dass nicht klar herauskommt, dass im vorliegenden Fall die Ortsvektoren gleich sind (denn die Ursprünge der Koordinatensysteme stimmen überein), die Ortsvektoren werden lediglich in verschiedenen Basen ausgedrückt.
Würde eigentlich gerne eine Antwort schreiben, aber kurze Frage: wie hast Du im Kommentar eine Formel eingefügt? Bei mir erscheint das Formel-Symbol bei Kommentaren nicht. Und eine zweite Antwort kann ich ja auch nicht schreiben. Ich bin relativ neu hier in diesem Forum...
Bei mir ist das auch so. Aber Copy Paste ist ein treuer Freund
Danke, aber wie copy-paste? Kann man Latex-Code zwischen $-Zeichen oder irgendwelchen Tags einfügen, oder wie geht das?
Ne, hab das copy-pasted, was oben im ursprünglichen Beitrag schon stand :-)
OK... Das ist schon nicht gerade gut für Physik- oder Mathefragen. Dann versuch ich's mal so:
Danke für die deine Mühen, mir das erklären zu wollen.
Aber irgenwie hakt es, weil für mich noch nicht klar ist, aus welchem System, vorallem in deiner letzten Rechnung geblickt wird.
Du schreibst z.B., dass die Geschwindigkeit im IS die zeitliche Ableitung des Ortes r(Pfeil) nach der Zeit ist, nur dass das nicht durch die "puren" Koordinaten ausgedrückt ist, wie man sie in IS misst, sondern ausgedrückt durch die Transformation der Koordinaten r', die man im beschl. Bezugssystem misst multipliziert mit den Basisvektoren (die aber nicht 0,0,1) usw. sind, sondern die Basisvektoren des beschl. Bezugssystems gemessen in IS.
Ok, alles klar bis hier hin.
Da man immer noch aus der Sicht des IS System blickt und im Allgemeinen bei einer Bewegung sich sowohl r' ändern kann (Bewegung relativ im beschl. Bezugssystem) als auch die Basisvektoren abhängig von der Zeit sind (weil wir ja aus IS blicken) muss man, wie du auch schreibst, die Kettenregel anwenden.
Damit sage ich ja automatisch, dass ich mich in IS befinde.
Das bedeutet, ich leite einmal nach dem Ort r'(t) ab, nehme das mit den Basisvektoren e(t) mal und dann plus die Basisvektoren e(t) nach der Zeit abgeleitet, mit r'(t) mal genommen.
Angenommen ich wollte die Geschwindigkeit einer Bewegung zum Zeitpunkt t= 10s relativ zum IS wissen. Was brauche ich? Ich brauche jetzt nur nach dem oben genannten Rechenschritt (ich weiß man braucht das am Ende garnicht, weil ein Teil der Information dann in diesem w Kreuz r steckt) r'(t) also die Koordinaten dergleichen Bewegung nur in r' gemessen und e(t) also die Basisvektoren aber halt relativ zu IS.
Der springende Punkt ist, dass ich diese Vereinfachung r'(t) * e(t) = v'(t) also die Geschwindigkeit gemessen im beschl. Bezugssystem für nicht legitim halte, weil das nur ginge, wenn ich e(t) als die Basisvektoren relativ zum Beschleunigten Bezugssystem definiert hätte also wenn e(t) (0,0,1), (0,1,0) usw. wäre.
Aber das (t) in e(t) deutet schon an, dass das einfach aus dem Grund nicht geht, weil die ganzen Überlegungen darauf basieren, dass e(t) zeitabhängig ist und relativ zum IS.
Also nochmal zu diesen 10s. Ich kenne die Bahnkurve in r' also r'(t), die leite ich jetzt nach der Zeit ab und multipliziere sie mit e(10s). Aber nochmal: e(10s) kann nicht (0,0,1) usw. sein, weil ich mit e(t) die Koordinaten der Basisvektoren des beschl. Systems relativ zum IS meine.
Da kommt ja auch rechnerisch was komplett anderes raus, wenn ich auf einmal das Bzgssystem wechsele und e(t) jetzt als die Basisvektoren relativ zum beschleunigten Bezugssystem auffasse, in dem einen Fall multipliziere ich die nach der Zeit abgeleitete Bahnkurve r'(t) mit den Basisvektoren (0,0,1) usw. , was im Grunde trivialerweise die Skalare r'(t) zu Vektoren macht oder aber
(und so halte ich es für richtig, weil e(t) in den Überlegungen stets die BV des beschl. Bezugssystems relativ zu IS waren) mit z.B. (0, 1/Wurzel 2, 1/Wurzel 2) oder was auch immer die BV relativ zu IS gemessen zum Zeitpunkt t= 10 s sein mögen.
Und ich weiß leider immer noch nicht, wo da der Denkfehler ist.
Ein einfaches Zahlenbeispiel wäre super, weil man da nicht so super abstrakt unterwegs ist, und das Risiko aneinander vorbeizureden, minimiert.
Danke schonmal!
Danke erstmal. In dem von dir beschriebenen beschleunigten System sind die Basisvektoren unverändlich, bzw. um das Kind beim Namen zu nennen (0,0,1); (0,1,0) ; (0,0,1) ; immerhin blickt man aus Sicht des rotierenden Systems , versteh ich dich da richtig?
In dem oben aufgeführten Beispiel (so versteh ich das zumindest) sind die Basisvektoren aber abhängig von der Zeit und im Allgemeinen nicht (0,0,1); (0,1,0) usw. ,da die Basisvektoren, durch das IS beschrieben werden. Also z.B. (0, 1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ) zu einem Zeitpunkt t
Verstehst du, wie ich das meine? Ich könnte das lediglich als v'(t) auffassen, wenn die Basisvektoren e(x) usw. (0,0,1) wären, aber das sind sie ja nie, da man die Basisvektoren in Abhängigkeit von t aus dem IS beschreibt.