drei aufeinanderfolgende Zahlen durch 3 teilbar.
Hallo liebe Community,
wenn man z.B. 3+4+5= 12 rechnet, kann man die Zahl durch 3 teilen. Das ist auch in anderen Fällen so (1543+1544+1545/3= 1544). Einen Term dazu habe ich schon: x+(x+1)+(x+2)=3x+3=3(x+1)
Trotzdem habe ich nicht verstanden, wieso das so ist.
Ich hoffe, dass jemand mir weiterhelfen kann :)
8 Antworten
da 1+2+3 auch durch 3 teilbar ist und du jedes mal diesen wert übernimmst ist dann auch jede weiter möglichkeit durch 3 teilbar ;)
2+3+4
du hast immer den mittelwert 3 mal :) das ergebnis ist also immer die mittlere zahl
Ich fände schon wichtig, dass du das anhand deiner eigenen (richtigen und beweisenden) Umformung verstehst, denn viele Beweise funktionieren mit solchen Umformungen. Ich würde an deiner Stelle in
x+(x+1)+(x+2)=
3x+3=
3(x+1)
ein paar verschieden Zahle für x einsetzen und das ausrechnen, bis mir zwei Dinge einfach klar sind:
Egal, was für drei aufeinanderfolgende Zahlen ich nehme, die haben immer die Form x+(x+1)+(x+2).
Diese Summe immer genau deswegen durch drei teilbar, weil sie in der Form 3(x+1) geschrieben werden kann (und zwar ganz egal, welche Zahl "x" ist).
Diese Umformung ist beweisend. Ich kann deswegen keinen Sinn darin erkennen, eine Anschauung zu benutzen, die diese Umformung nicht veranschaulicht... also irgendwie "drumrum zu denken". Das hilft auch für spätere Beweise dieser Form nichts, s.o.
Es gilt ganz allgemein, dass die Summe von n beliebigen aufeinander folgenden natürlichen Zahlen durch n teilbar ist, sofern n ungerade ist. Denn für beliebiges natürlichzahliges x gilt:
Summe [ i = 1 ... n ] ( x + i )
= Summe [ i = 1 ... n ] ( x ) + Summe [ i = 1 ... n ] ( i )
= n * x + n * ( n + 1 ) / 2
= n * ( x + ( n + 1 ) / 2 )
Wenn nun aber, wie vorausgesetzt, n ungerade ist, dann ist n + 1 gerade und somit durch 2 teilbar. ( n + 1 ) / 2 ist also ganzzahlig. Dann aber ist auch die Summe x + ( n + 1 ) / 2 ganzzahlig und somit ist auch n * ( x + ( n + 1 ) / 2 ) ganzzahlig und daher durch n teilbar.
Die tiefere Wahrheit dahinter scheint mir letztlich die zu sein, daß n immer durch n teilbar ist. Oder?
n beliebige aufeinander folgende natürliche Zahlen, wobei n ungerade ist:
(k + 0) + (k + 1) + (k + 2) + ... + (k + (n-1))
= k * n + (1 + 2 + ... + (n-1))
Da n ungerade ist, ist n-1 gerade. Folglich:
1 + 2 + ... + (n-1)
= (1+(n-1)) + (2+(n-2)) + ...)
= n + n + ...
Sieh es mal so:
(y- 1) + y + (y + 1) = 3y
Wird es so deutlicher?
Ist doch logisch.
Zahl (X+1) + (X) + (X-1) ist das gleiche wie 3X.
Vielen Dank!