Die Frage nach der Stetigkeit?

Hallo zusammen

die folgende Aufgabe beschäftigt mich:

Die Lösung ist gleich dazugelegt:

Meine Fragen: (bitte detailliert, damit ich folgen kann)

• Wie kommen sie von auf
• Wieso ist x = 2 nicht differenzierbar?
• Wieso sagen sie, h sei negativ? die Kurve ist positiv.
• Wieso haben sie bei lim(f(2+h)-f(2))=0 die Gleichung auf 0 gesetzt?
• Heisst also Stetigkeit lediglich, dass nichts unterbrochen ist?
• Was heisst grundsätzlich differenzierbar? Habt ihr ein Beispiel?
• Wie kommen sie überhaupt auf diese Kurve, ginge sie nicht eher nach unten durch y=0

Danke füre Eure Antworten

liebe Grüsse E.

Answer 1

[Rhenane]

Punkt 1: Die "kritischen" Stellen einer Betragsfunktionen sind dort, wo der Term innerhalb der Betragsstriche Null wird. Das ist hier bei x=-1 und x=2 der Fall.

Mit "lim h->0 [f(2+h)-f(2)]" wird der Grenzwert an der problematischen Stelle x=2 untersucht; dabei wählt man einmal ein h>0 und wird immer kleiner (man kommt quasi von der rechten Seite Richtung x=2) und einmal ein h<0 und wird von da aus größer Richtung Null (von links kommend). Damit hat man dann gezeigt, dass der Graph von links und rechts im selben Punkt "landet".

Genausogut kann man einfach lim x->2 f(x) rechnen (von links und rechts kommend), das ist dasselbe nur anders geschrieben.

Punkt 2: Eine Funktion heißt differenzierbar an einer bestimmten Stelle, wenn sie dort stetig ist und eine eindeutige Steigung hat. Das wird in der Lösung nur "erwähnt" und nicht berechnet. Eigentlich muss man dafür die Steigung, d. h. erste Ableitung, an dieser Stelle untersuchen (wieder natürlich von links und rechts kommend). Ist die Steigung von links und rechts kommend nicht gleich, bedeutet das für den Graphen, dass er dort einen Knick macht, wie man ja hier eindeutig bei x=-1 und x=2 sehen kann.

Punkt 3: Es wird nicht gesagt, dass h "generell" negativ ist! Das h ist einfach nur eine Hilfsvariable und gibt im Grunde nur den Abstand zur Stelle x an. Um bei der Grenzwertbetrachtung mit x+h den linken Grenzwert an der Stelle x bestimmen zu können, wird ein negatives h gewählt, das man dann immer "größer" macht Richtung 0.

Punkt 4: Die Gleichung wurde nicht auf Null gesetzt, sondern 0 ist das Ergebnis von lim h->0 [f(2+h)-f(2)]!! Mit dieser Grenzwertrechnung ermittelst Du den y-Wert an dem die Funktion auskommt, wenn Du Richtung x=2 wanderst (einmal rechts vom grünen Punkt aus mit positivem h und einmal links vom schwarzen Punkt aus mit negativem h).

Punkt 5: das ist "im Grunde" korrekt. Genaugenommen ist eine Funktion stetig, wenn Du sie innerhalb der Definitionsmenge ohne Absetzen des Stifts zeichnen kannst! Du kennst ja sicher die Funktion f(x)=1/x. Auch diese ist stetig, obwohl Du ja bei x=0 den Stift absetzen musst, aber x=0 gehört in diesem Fall nicht zur Definitionsmenge!!

Punkt 6: Differenzierbar sind alle Funktionen die stetig sind und keinen "Knick" im Graphen haben. Problematisch sind da in der Regel nur wie hier die Betragsfunktionen und zusammengesetzte Funktionen, die aus mehreren Teilfunktionen bestehen - da muss man dann die Übergänge zwischen den Teilfunktionen untersuchen. Und es gibt noch spezielle Funktionen wie z. B. die Signumfunktion (Vorzeichenfunktion) oder Gaussklammerfunktion (Ab-/Aufrundungsfunktion), aber diese sind im Grunde auch zusammengesetzte Funktionen.

Punkt 7: "Der Betrag von..." ist immer positiv. Man betrachtet damit quasi den Abstand auf dem Zahlenstrahl dieses Werts von Null, d. h. |...| kann nie negativ sein.

Answer 2

[julihan41]

1. Das ist die Formel für die Differenzierbarkeit nur ohne :h.
2. Es ist da Bucht differenzierbar, das es " einen Knick macht" und damit Jenkins eindeutige Steigung an dieser stelle besitzt .
3. h negativ heißt, dass wir das von links kommend betrachten. Das steht ja im Argument.
4. Stetigkeit heißt, salopp formuliert, dassdie Funktion keine Unterbrechung hat, richtig.
5. Differenzierbarkeit heißt, dass der Grenzwert lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h existiert, also nicht unendlich wird. Salopp formuliert, macht die Funktion keinen Knick.
6. Differenzierbar sind alle möglichen Kombinationen von Polynomen, eFunktion und trigonometrischen Funktionen. Nicht differenzierbar ist bspw die Betragsfunktion.
7. |x| ist die Betragsfunktion, d.h. alle negativen Werte werden positiviert. Dadurch kommen diese Knicks, da die Funktion ohne Betrag da durch gehen würde, aber ab dort quasi an der x Achse gespiegelt wird.