Betragsfunktion nicht differenzierbar wieso genau?
Wenn man die beiden Grenzwerte ausrechnet für x gegen 0 um zu zeigen, dass die Betragsfunktion in 0 nicht differenzierbar ist, stößt man auf folgende gleichung.
Wieso ist der Betrag von x da plötzlich negativ und x selber (Nenner) bleibt positiv, obwohl man sich der 0 von „links“ annähert?
1 Antwort
Wieso ist der Betrag von x da plötzlich negativ
Das ist die Definition des Betrages:
Fall 1: x < 0 ---> |x| = -x (Beispiel: x = -5 dann ist |x| = 5 und -(-5) ist auch 5)
Fall 2: x ≥ 0 ---> |x| = x
Und da x sich "von unten", oder "von negativen Zahlen" her der 0 nähern soll (laut Bild), ist hier der 1. Fall gegeben. Der 2. zu betrachtende Fall ergibt dann x/x = +1 und genau deswegen ist die Funktion nicht differenzierbar: Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten stimmen nicht überein.
Kann er ja auch nicht! Deswegen muss man immer diese von mir in der Antwort erwähnte Fallunterscheidung machen, damit am Ende immer was Positives herauskommt. wenn man die Betragsstriche weglassen will.
Das x im Nenner kommt nicht von f(x) sondern von der Intervallbreite 0 - (- x) = x (schau Dir die Definition des Differenzenquotienten nochmal an)
ok, das mit dem Betrag hab ich jetzt glaub, wenn x kleiner 0, dann ist -x ja positiv…, und dann ist der Nenner doch negativ? Weil -(-x) / x wäre ja 1
-x / x = -1 (nochmal mein Beispiel: x = - 5, dann ist; -(-5)/(-5) = +5/-5 = -1
Natürlich ist x im Nenner negativ wenn x <0 ist, aber es ist keine Betragsfunktion im Nenner und damit ist es auch korrekt negativ zu bleiben.
ok, das mit dem Betrag hab ich jetzt glaub, wenn x kleiner 0, dann ist -x ja positiv…, und dann ist der Nenner doch negativ? Weil -(-x) / x wäre ja 1
ich dachte, wenn x kleiner 0, dann muss da ein Vorzeichen stehen….🤦♀️🤦♀️, jetzt hab ichs verstanden, 1000Dank!!!❤️
vielen, vielen Dank! aber wie kann der Betrag irgendeiner Zahl überhaupt negativ sein? oder kehrt der einfach das Vorzeichen um? und wie kommt es, dass das x im Nenner positiv ist, wenn x doch kleiner als 0 ist? Es tut mir so leid, dass ich so schwer von Begriff bin 🙈