Determinante einer Matrix mit einem Skalar multiplizieren

Hey, ich habe hier eine Matheaufgabe, bei der ich auch nach dem Suchen bei Google keine passende Antwort gefunden habe (Nein, ihr sollt nicht meine Hausaufgaben machen. Sollte das für meine Klausur wissen und habe auch nichts im Skript dazu gefunden):

Für eine Matrix A Element R(5x5) sei det(A)=7. Welchen Wert hat die Determinante der Matrix wurzel(2)*A?

Danke gleichmal fürs durchlesen!

4 Antworten

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet

Chris087

19.07.2012, 10:55

Du kannst es entweder umständlich machen und jedes Element der Matrix mit Wurzel 2 multiplizieren und davon die Determinante berechnen, was bei einer 5x5 Matrix ja nicht so einfach ist. Oder du ließt dir folgende regel durch und merkst sie dir:

det(λxA)= λ^n x det A

wobei Lamdba dein Skalar ist und n die Anzahl der Zeilen.

Also in deinem Fall einfach Wurzel 2 hoch 5 x 7.

Verstanden?

PsychoPate

Beitragsersteller

19.07.2012, 11:02

Hey, vielen Dank für deine, sehr hilfreiche, Antwort. Jetzt hab ichs endlich verstanden!

Chris087

19.07.2012, 11:13

@PsychoPate

Immer wieder gerne

appletman

19.07.2012, 14:02

Hallo, ich schließe mich dem Ergebnis von Chris087 an, leite aber dasselbe logisch her: Bei Multiplikation einer Matrix mit Wurzel(2) muss jedes Element der Matrix mit ebendiesem Wert multipliziert werden! Bei der Berechnung der Determinante der Dimension 5X5 entstehen Terme, die teils addiert und teils subtrahiert werden müssen. Bei einer 2X2-Determinante sind die Terme Produkte aus jeweils 2 Elementen, bei 3X3-Matrizen sind es Produkte aus 3 und bei 5X5 Determinanten Produkte aus 5 Elementen. Deshalb ergibt sich bei der Multiplikation dieser Elemente gerade das folgende Produkt: Wurzel(2) * Wurzel(2) * Wurzel(2) * Wurzel(2) * Wurzel(2) = 4 * Wurzel(2). Man kann also diesen Wert ausklammern und in der Klammer steht der Wert der "alten" Determinante, also 7. Das Ergebnis muss dann also 28 * Wurzel(2) sein.

JotEs

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

19.07.2012, 11:06

Welchen Wert hat die Determinante der Matrix wurzel(2)*A?

Bei dieser Formulierung sollst du, entgegen deinem Kommentar zur Antwort von Suboptimierer, sehr wohl

det ( Skalar * Matrix )

berechnen, nämlich:

det ( Wurzel ( 2 ) * A )

und dafür gilt (siehe auch bei Wikipedia: "Multiplikation mit Skalaren"):

Sei A eine n x n - Matrix und r ein beliebiger Skalar, dann gilt:
det ( r * A ) = r ^ n * det ( A )

Für dein Beispiel mit r = Wurzel ( 2 ), n = 5 und det ( A ) = 7 gilt demgemäß also:

det ( Wurzel ( 2 ) * A )
= Wurzel ( 2 ) ^ 5 * det ( A )
= Wurzel ( 2 ) ^ 5 * 7

PsychoPate

Beitragsersteller

19.07.2012, 11:50

Habs schon verstanden.

Trotzdem ein riesiges Dankeschön, dass Ihr trotz meiner "Dummheit", so schnell und hilfreich geantwortet habt!

Suboptimierer

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

19.07.2012, 10:25

http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Multiplikation_mit_Skalaren

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik

PsychoPate

Beitragsersteller

19.07.2012, 10:41

Habe ich auch schon gefunden, aber bei Wikipedia wird ja folgendes berechnet:

det(Skalar*Matrix)

Ich habe aber keine Matrix gegeben und soll

skalar*det(Matrix)

berechnen!

Und dass ich den Wert des Skalar einfach mal dem Wert der Determinante nehme erscheint mir zu einfach, sonst hätte die Aufgabe doch keinen Sinn...

PsychoPate

Beitragsersteller

19.07.2012, 11:01

@PsychoPate

Ok, jetzt hab ichs verstanden....danke!

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3 2 1

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Wo liegt der Fehler?

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

// Funktion zur Berechnung des Determinanten einer Matrix
double determinant(vector<vector<double>>& matrix, int n) {
  double det = 0;

  if (n == 1) {
    return matrix[0][0];
  }

  if (n == 2) {
    return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];
  }

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    vector<vector<double>> subMatrix(n - 1, vector<double>(n - 1));

    for (int j = 1; j < n; j++) {
      for (int k = 0; k < n; k++) {
        if (k < i) {
          subMatrix[j - 1][k] = matrix[j][k];
        }
        else if (k > i) {
          subMatrix[j - 1][k - 1] = matrix[j][k];
        }
      }
    }

    det += pow(-1, i) * matrix[0][i] * determinant(subMatrix, n - 1);
  }

  return det;
}
 
// Funktion zur Durchführung der Gauss-Jordan-Elimination
void gaussJordan(vector<vector<double>>& matrix, vector<double>& constants) {
  int n = matrix.size();

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    int maxIndex = i;

    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
      if (abs(matrix[j][i]) > abs(matrix[maxIndex][i])) {
        maxIndex = j;
      }
    }

    if (maxIndex != i) {
      swap(matrix[maxIndex], matrix[i]);
      swap(constants[i], constants[maxIndex]); // Korrektur hier
    }

    double factor = matrix[i][i];

    for (int j = i; j < n; j++) {
      matrix[i][j] /= factor;
    }

    constants[i] /= factor;

    for (int j = 0; j < n; j++) {
      if (j != i) {
        double factor = matrix[j][i];

        for (int k = i; k < n; k++) {
          matrix[j][k] -= factor * matrix[i][k];
        }

        constants[j] -= factor * constants[i];
      }
    }
  }
}

// Funktion zur Überprüfung der Invertierbarkeit und zur Lösung des LGS
vector<double> solveLinearSystem(vector<vector<double>>& matrix, vector<double>& constants) {
  int n = matrix.size();
  double det = determinant(matrix, n);

  // Überprüfung auf unendlich viele Lösungen
  bool allZero = true;

  for (double constant : constants) {
    if (constant != 0) {
      allZero = false;
      break;
    }
  }

  if (det == 0) {
    if (allZero) {
      cout << "Das LGS hat unendlich viele Lösungen." << endl;
      return {}; // Leerer Vektor, da unendlich viele Lösungen existieren
    }
    else {
      cout << "Das LGS hat keine Lösung." << endl;
      return {}; // Leerer Vektor, da keine Lösung existiert
    }
  }

  // Anwendung der Gauss-Jordan-Elimination
  gaussJordan(matrix, constants);

  vector<double> solution(n);

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    solution[i] = constants[i];
  }

  return solution;
}

int main() {
  vector<vector<double>> matrix = {
    { 1, -3,  5 },
    { 2, -5,  12 },
    { 3, -11,  11 }
  };
  vector<double> constants = { 2, 1, 12 };

  vector<double> solution = solveLinearSystem(matrix, constants);

  if (!solution.empty()) {
    cout << "Die Lösung des LGS ist: ";

    for (int i = 0; i < solution.size(); i++) {
      cout << "x" << i + 1 << " = " << solution[i] << ", ";
    }

    cout << endl;
  }
  else {
    cout << "Das LGS hat keine Lösung." << endl;
  }

  return 0;
}

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)
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