Der Punkt P liegt auf einem Kreis mit dem Radius r=4 und dem Mittelpunkt M(4/0). Die Parallelen durc
Hi
Wie löst man diese Aufgabe: Der Punkt P liegt auf einem Kreis mit dem Radius r=4 und dem Mittelpunkt M(4/0). Die Parallelen durch P zu den Koordinatenachsen begrenzen mit diesen ein Rechteck mit maximalen Flächeninhalt. Welche Koordinaten hat P? Sind die Parallelen parallel zur Strecke PM?
thx
4 Antworten
Hier ich will euch mal beweisen, dass ich in situ was produziere. Der einfachste Ansatz, der sich denken lässt. Stell doch mal die Kreisgleichung in Polarkoordinaten auf; Radius und Tangente stehen senkrecht aufeinander.
r ( ß ) = 2 R cos ( ß ) ( 2.1a )
x ( ß ) = 2 R cos ² ( ß ) ( 2.1b )
y ( ß ) 2 R sin ( ß ) cos ( ß ) ( 2.1c )
F ( ß ) = x y = 4 R ² sin ( ß ) cos ³ ( ß ) ( 2.2a )
U ( ß ) := ln ( F ) = 3 ln cos ( ß ) + ln sin ( ß ) = max ( 2.2b )
Zu dem Logaritmus bin ich nur über gegangen, weil wenn wir die Rechenstufe vermindern, sich die Ableitungen erleichtern.
U ' ( ß ) = ctg ( ß ) - 3 tg ( ß ) = 0 ===> tg ( ß ) = 1/sqr ( 3 ) ( 2.3 )
Der Winkel beträgt 30 ° ; das Kosinusquadrat in ( 2.1b ) folgt zu 3/4 im einklang mit ( 1.4c )
P(u | v) mit v² = 16 ‒ (u ‒ 4)² = 8u ‒ u². Dann ist die Fläche A = u • v
und das Quadrat A² = Q = u²v² = u² • u • (8 ‒ u) = 8u³ ‒ u^4. Die Fläche
wird maximal, wenn Q maximal: Q‘ = 24u² ‒ 4u³ = 4u²(6 ‒ u) = 0, daher u = 6.
Die Rechtecksfläche
F ( x ; y ) := x y = max ( 1a )
mit der Nebenbedingung
D ( x ; y ) := ( x - R ) ² + y ² = R ² = const ( 1b )
Zum Einsatz kommt das Lagrangeverfahren; dieses nimmt allerdings nicht zur Kenntnis, dass x0 = R . Den Lagrangeparameter nenne ich k ; wir bilden somit die Linearkombination
H ( x ; y ) := F ( x ; y ) + k D ( x ; y ) ( 2 )
Notwendige Bedingung für Maximum: Der Gradient von ( 2 ) verschwindet.
H_x = y + 2 k ( x - R ) = 0 | * y ( 3a )
H_y = x + 2 k y = 0 | * ( x - R ) ( 3b )
In ( 3ab ) habe ich die Umformungen vermerkt, wie wir uns mittels des Subtraktionsverfahrens des Dummy k entledigen können.
y ² = x ( x - R ) ( 4a )
Allerdings haben wir noch keinen Gebrauch gemacht von Nebenbedingung ( 1b ) ; umgestellt nach y , ergibt das
y = x ( 2 R - x ) ( 4b )
x ( max ) = 3/2 R ( 4c )
mach dir ne Skizze und dann Pythagoras; x²+y²=r² mit P(x;y) nach x auflösen;
A(Rechteck) = x * y einsetzen und A ' bilden; dann =0 usw