Argument von -i
Hallöchen, eine Frage an die Mathespezialisten:
Also, ich hatte heute eine Einstiegsvorlesung zum Thema komplexe Zahlen, und bei den späteren Übungsaufgaben musste ich unter anderem das Argument (Winkel phi) von -i ermitteln.
Aus der Zahlenebene konnte ich mir auch schnell überlegen, dass es wohl 1,5Pi sein müssen.
Allerdings hatten wir eigentlich eine Formel dafür gelernt:
phi = arctan(y/x)
(wobei y der Imaginär- und x der Realteil ist). Da hatte ich dann ein Problem, da der Realteil ja 0 ist und ich nicht durch Null teilen darf.
Gilt die Formel einfach nicht für Zahlen ohne Realteil (kann man sich ja auch recht einfach überlegen) oder hab ich einen Denkfehler gemacht?
Lg
7 Antworten
Diese Formel ist mit sehr großer Vorsicht zu genießen, da es mehr Ausnahmen gibt als Fälle, in denen die Formel gilt:
Ein Beispiel:
- 1+i: arctan(y/x) = arctan(1), der Winkel ist Pi/4
- -1-i: arctan(y/x) = ebenfalls arctan(1), der Winkel ist aber -3Pi/4
…musste ich unter anderem das Argument (Winkel phi) von -i ermitteln. Aus der Zahlenebene konnte ich mir auch schnell überlegen, dass es wohl 1,5Pi sein müssen.
Völlig richtig. Allerdings ist das Argument einer Komplexen Zahl nicht eindeutig. Mit einem φ₀ ist
φ = {φ₀ + 2πk|k ∈ ℤ}
ein mögliches Argument von z. Um es eindeutig zu machen, schränkt man die Argumentmenge auf ein Intervall der Länge 2π ein, wobei zwei Möglichkeiten die sinnigsten sind:
(1.1) φ₀ ∈ [0, 2π[
oder
(1.2) φ₀ ∈ ]–π, +π]
heißt dann der Hauptwert des Arguments. Du folgst offenbar der Konvention (1.1), nach (1.2) ist natürlich
φ₀ = –π/2.
Allerdings hatten wir eigentlich eine Formel dafür gelernt:
φ = arctan(y/x)
Die Formel greift zu kurz:
Erstens ist der Wertebereich des Arcustangens das offene Intervall
]–π/2;+π/2[,
gelegentlich auch
(–π/2;+π/2)
geschrieben. Für x=0 ist die Funktion somit natürlich nicht definiert. Allerdings kann man aus dem asymptotischen Verhalten des Arcustangens schließen, dass dann das Argument auf π/2 oder 3π/2 bzw. –π/2 zusteuert, je nach dem Vorzeichen von y.
Ist zusätzlich y=0, so ist insgesamt z=0 und das Argument unbestimmt bzw. beliebig. Diesen Fall sollten wir also von vornherein ausschließen.
Zweitens gilt die Formel so auch nicht für x⪇0; hier muss π addiert oder subtrahiert werden. Für die Konvention (1.2) ergibt sich so für z≠0 insgesamt
(2.1) x ⪈ 0 ⇒ φ₀ = arctan(y/x)
(2.2.1) x = 0 ∧ y ⪈ 0 ⇒ φ₀ = π/2
(2.2.2) x = 0 ∧ y ⪇ 0 ⇒ φ = –π/2
(2.3.1) x ⪇ 0 ∧ y ≤ 0 ⇒ φ₀ = arctan(y/x) + π
(2.3.2) x ⪇ 0 ∧ y ⪈ 0 ⇒ φ₀ = arctan(y/x) − π
Für die Konvention (1.1) bietet sich als Grundlage eher der Arcuscotangens an. Sein Wertebereich ist das offene Intervall
]0, π[,
sodass sich hier
(3.1) y ⪈ 0 ⇒ φ₀ = arcgtg(x/y)
(3.2.1) y = 0 ∧ x ⪈ 0 ⇒ φ₀ = 0
(3.2.2) y = 0 ∧ x ⪇ 0 ⇒ φ₀ = π
(3.3) y ⪇ 0 ⇒ φ₀ = arcgtg(x/y) − π
ergibt.
Ich habe noch einmal nachgelesen; zu meiner Überraschung ist die Konvention (1.2) die übliche, obwohl sie eigentlich komplizierter ist.
Einen Denkfehler hast Du jedenfalls nicht gemacht.
Tangens ist an den Stellen 1/2Pi, 3/2Pi~270°, 5/2Pi,... nicht definiert. Eure Formel kann damit nur eingeschränkt angewandt werden.
Falls nötig, werden hier einige Formeln zur Winkelberechnung zusammenfassend dargestellt: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Umrechnungsformeln
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Umrechnungsformeln
3/2 pi (oft auch geschrieben als -pi/2, auf Grund der Periodizität des Winkels) ist korrekt. Auf Grund der Periodizität und Definitionslücken ist aber die Formel Phi = arctan(y / x) nicht korrekt, sondern man muss die Sonderfälle mit berücksichtigen. Einer ist eben der von dir genannte z = -i (oder genauer: jede komplexe Zahl ohne Realteil)
Du hast keinen Denkfehler gemacht ... und kommst wahrscheinlich am besten klar, wenn du dir zur Berechnung des Arguments die Zahl in der Gaußschen Zahleneben vorstellst und nur dann, wenn der Winkel nicht ohnehin klar ist, per Elementargeometrie ein passendes rechtwinkliges Dreieck hineinlegst.