Das Volumen einer Melone berechnen?
Rotationskörper bzw mit Integralrechnung, ich soll eine Gleichung aufstellen und die Melone ausmessen aber wie komm ich auf die Gleichung bzw welchen grades am besten und wie geh ich sonst vor? hilfe?
2 Antworten
Man kann die Kugel, bzw., ein Ellipsoid als Hyperfläche im R^3 charakterisieren.
Für eine Kugel haben wir,
x^2 + y^2 + z^2= R^2,
für ein Ellipsoid (eine re-skalierte Kugel), haben wir,
a^(-2)*x^2+b^(-2)*y^2+c^(-2)*z^2 = 1
Wir lösen nun mehr nach z>0 (Halb-Ellipsoid) auf,
z = c*(1-a^(-2)*x^2+b^(-2)*y^2)^(1/2)
Nach Aufgabenstellung soll die Melone ein Rotationselliposid sein, was zur Gleichheit (nach Wahl einer geeigneten Karte), a = b führt. Dier erlaubt die Vereinfachung,
z = (c/a)*(a^2-(x^2+y^2))^(1/2).
Wir führen nun Zylinderkoordinaten ein,
x^2 + y^2 = r^2, phi = arctan(y/x), z =z und berechnen das Volumen. Da wir einen Rotationskörper vorliegen haben,muss 0 <= phi <= 2*pi, aufgrund der Positivitätsforderung des Radikanden in der Gleichung für z,muss 0 <= r <= amit r>0 nach Definition der Zylinderkoordinaten.
Daraus folgt dann,
V(Melone) = int_{Rot-Ellipoid}dV
=2*int_0^(2*pi)dphi*int_(0)^(a)dr*r*int_(0)^(z(r))*r
= 2*pi*c/a int_0^(a^2)dr^2(a^2-r^2)^(1/2).
=2*pi*c/a*[-2/3*(a^2-x^2)]_0^(a^2)
=4*pi/3*c*a^2,
was genau mit dem Ergebnis,V_Ellipsoid(a,b,c)=4*pi/3*a*b*c übereinstimmt, wenn a=b, was exakt die Annahme der Rotationssymmerie ist.
VG,
dongodongo.
Meinst du sowas ? : http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/rotationsvolumen-volumen-rotationskoerper.html
Wie genau lautet denn sdie Aufgabenstellung?
ja genau das ist der rechenweg, den kenn ich aber ich bräucht ne formel, die die oberflächerder halben Melone veranschaulicht aber wie bekomm ich die? bzw welchen grades soll sie denn sein?