Das Berührproblem.. Wie wird x2(1+x) = 0 von x2+x3 = 0 abgeleitet?
Hallo, ich habe in Mathe gerade das Berührproblem und stehe relativ hart aufm Schlauch.. DIe Frage ist: Zeigen Sie, dass sich f(x)=x²+1 und g(x)=1-x³ auf der y-Achse berühren. So weit bin ich: x2+1 = 1-x3 |-1+x3 x2+x3 = 0 Danach kommt dieser Schritt, das habe ich nachgeguckt, jedoch verstehe ich ihn nicht. x2(1+x) = 0 Wenn mir das jemand erklären könnte, wäre ich sehr verbunden :p
4 Antworten
Ich würd einfach die beiden Funktionen gleichsetzen:
x^2+1=f(x)=g(x)=1-x^3
Müssen ja schließlich (zumindest an einen einzigen Punkt) gleich x und y werte haben.
ergibt x^2+1=1-x^3
ist gleich
x^3+x^2=0
ist gleich
x*(x^2+x)=0
ist gleich
x*x*(x+1)=0
was gleich
x^2*(x+1)=0
ist
Liest du sofort ab, dass x=0 oder x=-1 sein muss (es letzlich 2 Berührpunkte gibt).
Setz beide in die Formel ein und du kennst die zugehörigen y werte.
Man könnte auch, da du weißt dass sie sich nicht nur berühren sondern dies sogar auf der y-achse tun, einfach folgendes machen:
Gucken ob f(x=0) und g(x=0) den gleichen Wert ausspucken.
Tun sie dies, dann berühren sie sich im Punkt (0,f(0)).
Ist wahrscheinlich der viel schnellere Weg.
Wäre die y-Achse als Berührugsort nicht direkt angegeben gewesen, hättest du es wie oben machen müssen: Funktionen gleichsetzen, damit x bestimmen.
Ermitteltes x einsetzen in eine der 2 Formeln und y bestimmen.
Hallo,
Du sollst zeigen, daß sich beide Funktionsgraphen an der y-Achse berühren. Das bedeutet zum einen, daß sie bei x=0 den gleichen Funktionswert haben:
f(x)=x²+1 f(0)=1
g(x)=1-x³ f(0)=1
Das wäre schon mal geklärt.
Wenn sie sich berühren und nicht schneiden sollen, müssen sie an dieser Stelle auch die gleiche Steigung haben. Du mußt also f'(x) und g'(x) bilden, für x eine Null einsetzen und sehen, ob sich auch hier der gleiche Wert ergibt:
f'(x)=2x f'(0)=0
g'(x)=-3x² g'(0)=0
Auch die Steigungen sind bei x=0 gleich. Es liegt also tatsächlich eine Berührung vor.
Das Gleichsetzen ist hier überflüssig, weil in der Aufgabenstellung die y-Achse, also x=0 bereits genannt ist und nicht erst gesucht werden muß.
Herzliche Grüße,
Willy
Distributivgesetz
Ausklammern
Das nennt sich ausklammern. x²(1+x) = x² + x³