Chaosspiel in der fraktalen Geometrie?
Hey, hab eine Frage zum sogenannten Chaosspiel in der Mathematik in der fraktalen Geometrie...Den Vorgang mit den Eckpunkten und einem beliebigen punkt p von denen man (gedanklich) Strecken macht und dann Mittelpunkte setzt.
Nun versteh ich aber nicht wieso das funktioniert...?
Einer von euch vielleicht?
Liebe Grüße
2 Antworten
Das ist ähnlich zu einer Fixpunktiteration. Bei einer Fixpunktiteration hat man einen Startpunkt x0 und eine Abbildungsvorschrift xn+1 = f(xn). Nach dem Banachschen Fixpunktsatz hat man eine Konvergenz gegen einen eindeutigen Fixpunkt x* mit f(x*) = x*, wenn man innerhalb einer beschränkten Menge bleibt und die Abbildung dort eine Kontraktion ist. Beispiel: x0 = 0 und xn+1 = xn/2 + 1. Wenn xn ∈ [0, 2], dann ist xn+1 ∈ [1, 2]. Da auch x0 ∈ [0, 2], bleibt man also insgesamt immer in [0, 2]. Der Abstand zwischen zwei Punkten nach einer Iteration ist |x/2 + 1 - y/2 - 1| = |x - y|/2. Er halbiert sich also immer. Deswegen hat man eine Konvergenz gegen den Fixpunkt x* = 2, da dann x*/2 + 1 = x* erfüllt ist. Dass gleiche gilt auch im Mehrdimensionalen. In dem eindimensionalen Beispiel kann man durch die Umformung x/2 + 1 = (x + 2)/2 leichter sehen, dass man immer den Abstand zur 2 halbiert hat. Im Mehrdimensionalen kann man so auch immer wieder den Abstand zu einem Punkt halbieren, wodurch man sich immer mehr diesem Punkt annähert.
In dem Chaosspiel hat man nun nicht nur einen Punkt, sondern mehrere, wovon man jede Iteration einen zufällig auswählt. Hier nähert man sich dann auch nicht einem einzelnen Punkt an, sondern einer Menge von Punkten. Dazu ist es leichter, wenn man die Iterationsvorschrift als Abbildung zwischen zwei Mengen sieht. Einer Menge von Punkten, die im n-ten Iterationsschritt möglich sind, wird die Menge von Punkten, die man im (n+1)-ten Schritt ereichen kann, zugeordnet. Beispiel: Man hat die Abbildugen f(x) = x + 1 und g(x) = x - 1 und man beginnt mit der Menge {0}. Dann hat man nach einem Schritt die entweder 1 oder -1, was man in der Menge {-1, 1} zusammenfassen kann. Im Schritt darauf hätte man {-2, 0, 2}. Wenn man es noch genauer macht, könnte man Wahrscheinlichkeiten zuordnen, sodass man insgesamt eine Abbildung zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen hätte.
Wenn man Funktionen f1, ..., fm hat, hätte man also eine Abbildung A ↦ f1(A) ∪ ... ∪ fm(A) = T(A). Dabei ist f(A) das Bild von A unter der Abbildung f, d.h. die Menge aller Punkte, die man bekommt, indem man die Punkte von A in f einsetzt. Wenn man nun eine Teilmenge B ⊂ A hat, wäre auch f(B) ⊂ f(A), denn wenn man weniger Punkte einsetzt, können nicht plötzlich neue Ergebnisse auftauchen. Genaso ist es dann auch mit der Vereinigung f1(B) ∪ ... ∪ fm(B) ⊂ f1(A) ∪ ... ∪ fm(A). Dadurch, dass man Menge, die man einsetzt, verkleinert, werden auch die Mengen auf der rechten Seite kleiner oder bleiben höchstens gleich.
Das Ziel ist es nun auch eine Art von Konvergenz zu zeigen, wofür die Teilmengeneigenschaft wichtig ist. Wenn nämlich T(A) ⊂ A, dann gilt auch T(T(A)) ⊂ T(A), wodurch man eine Kette aus Teilmengen bilden kann. In dem Beispiel von Vielecken, wo man immer den Abstand zu einem Eckpunkt halbiert, bleibt man in dem Vieleck bzw. in dessen konvexen Hülle, falls das Vieleck nicht konvex ist, also ist T(A) ⊂ A erfüllt, sodass die Menge der möglichen Punkte nach jeder Iteration eine Teilmenge der möglichen Punkte zuvor ist.
Beispiel zur Veranschaulichung:
Zu Beginn hat man irgendeinen Startpunkt in der roten Menge. Nach einem Schritt bekommt man einen Punkt aus der grünen Menge. Wenn man nicht nur einen einzelnen Punkt betrachtet und man die Entfernung zu einer Ecke halbiert, sondern das gesamte rote Dreieck, entspricht eine einzelne Abbildung nach Wahl einer Ecke einer Stachung mit Faktor 1/2 und der Ecke als Zentrum. Für jede der drei Ecke bekommt man ein um den Faktor 1/2 gestauchtes Dreieck. Wenn man diese Dreiecke zusammensetzt bekommt man die grüne Menge, welche eine Teilmenge der roten Menge ist. Deshalb ist auch die blaue Menge, die man aus den grünen Punkten bekommen kann, kleiner als die grüner, die man aus den roten Punkten bekommen kann. Die Menge, die man nach n Schritten bekommen kann, ist die gleiche, wie die, welche man durch die Konstruktion bekommt, indem man jedes Dreieck in vier kleinere Dreiecke aufteilen und das mittlere entfernen würde. Das eigentliche Fraktal kann man als Schnittmenge aller dieser Mengen definieren, d.h. in der Menge sind die Punkte enthalten, für die immer erhalten bleiben, egal wie viele Iterationsschritte man macht. Mit der Vorschrift, die Menge in drei kleinere Kopien aufzuteilen, würde dann wieder die gleiche Menge entstehen.
Umgekehrt weiß man aber auch, dass man von jedem beliebigen Punkt wieder in ein beliebiges Teildreieck kommen kann, z.B. wenn zweimal hintereinander die obere Ecke ausgewählt wird, ist man wieder in dem obersten blauen Dreieck, egal welche Ecken in all den Schritten zuvor ausgewählt wurden.
Bei der Konstruktion hat man aber in jedem Schritt immer nur einen Punkt und keine ganze Menge. Tatsächlich bekommt man so nicht das gesamte Fraktal. Wenn man z.B. die obere Ecke einmal verlassen hat, kann man noch so oft die obere Ecke auswählen, aber man wird sie nie mehr erreichen, sondern sich nur annähern. In der Praxis spielt das keine Rolle, da man nicht beliebig genau zeichnen kann, und auch der Computer hat nur eine begrenzte Genauigkeit; spätestens bei der Darstellung als Bild sieht man nicht mehr, dass ein Punkt nur annähernd erreicht wird. Durch das halbieren hat man auch eine ziemlich schnelle Konvergenz, sodass man auch nach wenigen Schritten keinen Abstand mehr erkennen kann.
In der Theorie kann man sich Häufungspunkte anschauen. Wenn in jeder beliebig kleinen Umgebung um einen Punkt unendlich viele Punkte einer Menge enthalten sind, ist der Punkt Häufungspunkt der Menge. Das sind hier die Punkte, denen man sich beliebig nah annähert. Die Punkte aus den obersten Dreiecken der roten, grünen und blauen Mengen nähern sich immer weiter der oberen Ecke an. Wie bereits erwähnt kann man einen Punkt vielleicht nicht exakt erreichen, aber es ist immer zumindest ein Punkt innerhalb eines beliebig kleinen Teildreiecks erreichbar. So kann man sich dem oberen Eckpunkt beliebig annähern.
Bei anderen Iterationsvorschriften, wo man nicht in einem beschränkten Bereich bleibt oder keine Kontraktion hat, kann es sein, dass man sich mit den Punkten immer mehr entfernt. Bei affinen Abbildungen ist noch leichter zu sehen, was passiert. Wenn man z.B. Abbildungen f(x) = x/2 und g(x) = 4x hat, kommt es auf die Wahrscheinlichkeit der Auswahlt an, ob man langfristig immer größere Beträge bekommt. Wenn man hier beides mit gleicher Wahrscheinlichkeit von 50% auswählt, wird man langfristig immer größer. Wenn man langfristig kleiner werden soll, muss man f mehr als doppelt so häufig wie g auswählen und die Wahrscheinlichkeiten entsprechend anpassen auf mindestens 2/3 zu 1/3. In dem Fall kann man trotzdem beliebig hohe Werte bekommen, da auch wenn g eine kleine Wahrscheinlichkeit hat, es passieren kann, dass sehr oft g hintereinander kommt, aber langfristig bekommt man auch kleinere Werte. Wenn die Wahrscheinlichkeit von g groß ist, verlässt man langfristig jeden beschränkten Bereich. Auf einem Bild gäbe es dann nur endlich viele Punkte und man würde das Bild irgendwann dauerhaft verlassen, sodass man da kein Ergebnis sehen würde. In dem anderen Fall, dass die Beträge der Faktoren im gewichteten Mittel < 1 sind, hätte man zwar auch immer wieder Punkte beliebig weit außerhalb vom Bild, aber langfristig immer wieder auch Punkte im Bild, sofern man den Bildbereich passend wählt. Nur wenn jeder Faktor betragsmäßig < 1 ist, sind garantiert alle Punkte in einem beschränkten Bildbereich. Im Mehrdimensionalen müsste man sich die Operatornorm anschauen, welche im Eindimensionalen nur der Betrag ist. Mit der Determinante kann man bei einer affinen Abbildung überprüfen, ob die Fläche kleiner wird.
Konkret im Zweidimensionalen hat eine Abbildung die Form
xn+1 = axn + byn + e
yn+1 = cxn + dyn + f
Hier wäre die Determinante |ad - bc|. In dem Beispiel mit der Halbierung von Strecken ist a = d = 1/2, b = c = 0 und e und f die Hälfte der x- bzw. y-Koordinaten des Eckpunktes. Das bedeutet hier, dass sich die Fläche immer viertelt. Wenn man drei solcher kleineren Dreiecke hat, sinkt die Fläche insgesamt um den Faktor 3/4.
Eine Abbildung könnte in der einen Richtung stauchen und in einer anderen dafür strecken, sodass es doch nicht so einfach ist.
Man kann auch irgendwelche anderen Funktionen nehmen, aber da ist es dann tatsächlich schwierig zu sehen, was passiert. Ein Beispiel ist die Spiegelung am Kreis, wo der Mittelpunkt auf einen unendlich fernen Punkt abgebildet werden würde.
Je nach der Dichte kann man einen Punkt auch unterschiedlich stark einfärben. Im einfachen Fall interessiert man sich nur dafür, ob ein Punkt in einer Menge ist, oder nicht. Wenn man bestimmte Bereiche nur selten besucht, macht es aber auch Sinn, diese entsprechend schwach einzufärben.
Im Grunde heißt "Fraktal" hier nur, dass, wenn du das Spiel unendlich fortsetzen würdest du eine Figur erhalten würdest, die keine ganzzahlige Hausdorf-Dimension hat, also beispielsweise weder 2D noch 3D ist.
Im Beispiel wäre das deshalb der Fall, da man die 2D-Ausgangsfigur unendlich oft unterteilt in einer Weise, die nicht zulässt diese 2d darzustellen.
Da du das aber nicht unendlich oft machen kannst ist das, was du damit erzeugst, lediglich eine Projektion oder ein Teil eines Fraktals, kein echtes Fraktal.
Ein echtes Fraktal könntest man womöglich nicht darstellen (bin mir gerade aber nicht sicher, ob das per se nicht geht oder ob das nur bei manchen Fraktalen nicht geht).