bruch erweitern durch quadrieren
kann man einen bruch erweitern indem man zähler u nenner quadriert? habe eine aufgabe wo in zähler u nenner wurzeln stehen, kann ich diese entfernen durch quadrieren?
3 Antworten
Überlege mal: Beim Quadrieren multiplizierst du den Zähler mit sich selbst und den Nenner mit sich selbst. Wenn aber Zähler und Nenner verschieden sind, dann multiplizierst du den Zähler mit einer anderen Zahl als den Nenner. Es handelt sich dann also nicht um werterhaltendes Erweitern, sondern der Wert des Bruches verändert sich dabei.
Zu deiner Aufgabe:
lim [ x -> oo ] ( 7 x ² - 4 x * sqrt ( x + 1 ) ) / ( x ² + x * sqrt ( 4 x ² + 6 ) )
Da brauchst du keine Wurzeln zu entfernen. Versuche statt dessen, den Bruchterm so umzuformen, dass er nur Brüche enthält, deren Zähler konstant sind.
Zerlege dazu den Bruch zunächst in zwei Teilbrüche:
= lim [ x -> oo ] 7 x ² / ( x ² + x * sqrt ( 4 x ² + 6 ) ) - 4 x * sqrt ( x + 1 ) / ( x ² + x * sqrt ( 4 x ² + 6 ) )
Kürze nun den ersten Teilbruch mit x ² und den zweiten mit x:
= lim [ x -> oo ] 7 / ( 1 + ( sqrt ( 4 x ² + 6 ) / x ) ) - 4 * sqrt ( x + 1 ) / ( x + sqrt ( 4 x ² + 6 ) )
Bringe im Nenner des ersten Teilbruchs den Nenner x mit in die Wurzel:
= lim [ x -> oo ] 7 / ( 1 + sqrt ( ( 4 x ² + 6 ) / x ² ) ) - 4 * sqrt ( x + 1 ) / ( x + sqrt ( 4 x ² + 6 ) )
und schreibe den Inhalt dieser Wurzel nun als Teilbrüche und kürze dabei wenn möglich:
= lim [ x -> oo ] 7 / ( 1 + sqrt ( 4 + ( 6 / x ² ) ) - 4 * sqrt ( x + 1 ) / ( x + sqrt ( 4 x ² + 6 ) )
Lässt man nun im ersten Teilbruch x gegen unendlich streben, dann strebt 6 / x ² gegen Null, der Radikand der Wurzel somit gegen 4, der Wert der Wurzel also gegen 2 und der Wert des gesamten Nenners gegen 3, also:
= ( 7 / 3 ) - lim [ x -> oo ] 4 * sqrt ( x + 1 ) / ( x + sqrt ( 4 x ² + 6 ) )
= ( 7 / 3 ) - 4 * lim [ x -> oo ] sqrt ( x + 1 ) / ( x + sqrt ( 4 x ² + 6 ) )
Nun den zweiten Teilbruch mit x kürzen:
= ( 7 / 3 ) - 4 * lim [ x -> oo ] ( sqrt ( x + 1 ) / x ) / (1 + ( sqrt ( 4 x ² + 6 ) / x ) )
und den Nenner x jeweils in die Wurzel bringen:
= ( 7 / 3 ) - 4 * lim [ x -> oo ] sqrt ( ( x + 1 ) / x ² ) / ( 1 + sqrt ( ( 4 x ² + 6 ) / x ² ) )
Der Zähler sqrt ( ( x + 1 ) / x ² ) lässt sich auch als sqrt ( ( 1 / x ) + ( 1 / x ² ) ) schreiben und der Nenner 1 + sqrt ( ( 4 x ² + 6 ) / x ² ) als 1 + sqrt ( 4 + ( 6 / x ²) ).
Der Nenner strebt für x gegen unendlich gegen 3 und der Zähler gegen 0, sodass also der gesamte zweite Teilbruch gegen Null strebt. Damit ergibt sich:
= ( 7 / 3 ) - 4 * 0
= 7 / 3
Vielleicht geht's auch einfacher; ich mach diese Dinge immer direkt in der Antwortbox von GF und das ist manchmal doch etwas unübersichtlich.
ja, danke ;) es ist mir kurz nachdem ich die frage gestellt hab dann auch aufgefallen. ka was mich da geritten hat, wegen dem quadrieren. und zur aufgabe: vielen dank ;)
Vielleicht etwas übersichtlicher, aber ohne wesentlichen inhaltlichen Unterschied zu JotEs:
Für x -> unendlich ist
lim ( 7x² - 4x √(x +1) ) / ( x² +x √(4x² +6) ) =
- Zähler und Nenner durch die höchste Potenz des Nenners dividieren und die entsprechende Klammer auflösen (so dass der Nenner / x² summandenweise erscheint):
lim ( 7x² /x² - ( 4x √(x +1) )/x² ) / ( x²/x² +( x √(4x² +6) )/x² ) =
lim ( 7 - ( 4 √(x +1) )/x ) / ( 1 +√(4x² +6)/x ) =
- √(T)/x = √(T)/√(x²) = √(T / x²); T = bel. Term
lim ( 7 - 4 √(x /x² +1/x² ) ) / ( 1 +√(4x²/x² +6/x² ) ) =
lim ( 7 - 4 √(1/x +1/x² ) ) / ( 1 +√(4 +6/x² ) ) =
( 7 - 4 * √(0 + 0) ) / ( 1 + √(4 + 0) ) =
7/3;
Du kannst nur eine dieser Wurzeln auflösen, indem du mit der selben Wurzel erweiterst, aber einfach quadrieren funktioniert nicht.
Dafür bräuchte ich die genaue Aufgabenstellung. Darfst du denn keinen Taschenrechner verwenden?
nee muss ja mit lösungsweg abgeben...
zähler: 7x² - 4x*sqrt(x+1)
nenner: x² + x*sqrt(4x²+6)
okay hast du ne idee wie ich beide wurzeln entfernen kann? muss den grenzwert ausrechnen