5 Antworten
In Fortsetzung einer hier bereits angegebenen Lösung mit x = -1 oder x = 2
(x^4-15x²+10x+24) : (x² - x - 2) = x² + x - 12
-x^4 + x³ + 2x²
x³ - 13x² + 10x + 24
-x³ + x² + 2x
-12x² + 12x + 24
Und jetzt x² + x - 12
Lösung für x = {-4, -1, 2, 3}.
x^4 - 15x² + 10x + 24 = (x + 4) * (x + 1) * (x - 2) * (x - 3)
Theoretisch gibt es funktionierende Rechenverfahren, die das Ganze algebraisch lösen. Die sind aber dermaßen umständlich, sodass man in der Schule eher die erste Nullstelle rät, dann zwei Mal die Polynomdivision durchführt und zum Schluss die übrig gebliebene quadratische Gleichung löst.
Nein, ich meine algebraische. Nullstellen von Polynome bis zum Grad 4 lassen sich algebraisch UND numerisch ermitteln. Ab Grad 5 lassen sie sich NUR NOCH numerisch ermitteln.
Nein. Polynome 3. Grades sind schon nur noch numerisch lösbar. Sofern man keine Nullstelle Raten kann. Bin gespannt welche algebraisch Verfahren du kennst mit denen man Polynome 3. Und 4. Grades lösen kann, bei denen weder Nullstelle Raten noch Substitution möglich ist. Abgesehen davon sprichst du in deiner Antwort von dermaßen umständlichen rechenverfahren, die das algebraisch lösen. Und sprichst dann von Nullstelle Raten und polynomdivision. Das ist größten teils ein algebraisches rechenverfahren...
Die cardanischen Formeln lösen Gleichungen 3. und 4. Grades algebraisch. Numerische verfahren wären sowas wie Bisektion. Das sind Nahrungsverfahren. Die cardanischen Formeln lösen eindeutig algebraisch.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
Und in meiner Antwort findet sich kein Widerspruch!
Es ist schon richtig, was teehouse schreibt, mti der cardanische Formel sind wir dann auch in der Trigonometrie - das erinnert stark an die komplexen Zahlen - und tatsächlich war man dann auch sehr schnell in den komplexen Zahlen. Erst später erweiterte Euler das mit e und pi zu einer Formel, die Zusammenhänge schafft, die ein Normalsterblicher nicht vermutet hätte.
Und die fünfte Dimension schafft man mit gegenwärtigen Bordmitteln meines Wissens nicht, mit der cardanischen Formel ist man auf vier Dimensionen beschränkt, auch das wurde bewiesen. Das ist reinste Mathematik.
Oder generell was ich bei solcher Rechnung machen muss.
Wenn Du keine Nullstellen erraten kannst, dann kannst Du eine solche Gleichung auch nicht mit Polynomdivision komplett lösen (Lösungsformeln für Polynome 4. Grades habe ich nicht mal im Studium zu Gesicht bekommen).
Ja. -1 ist eine Lösung. Erkennt man schnell. Dann Polynom Division mit (x+1)
Dann hast du ein Polynom 3.grades. Dann wieder eine Nullstelle erraten und wieder Polynom Division.
Bei x^3-x^2-14x+24 ist x=2 eine Lösung. Jetzt hier PD mit (x-2)
Danach hast du ein Polynom 2. Grades. Hier dann einfach pq Formel und fertig.
Vielen vielen Dank. Sry aber wie kommt man auf x3-x2-14x+24?
Statt der Polynomdivision kannst du auch das "Horner-Schema" verwenden - da musst du nur ein bisschen addieren und multiplizieren.
Wie bei Polynomdivision musst du die erste Lösung durch probieren suchen.
Hier findest du Erklärung (sieht viel mühsamer aus als es tatsächlich ist.):
Du meinst numerisch lösen. Nicht algebraisch.