Wie beweise ich folgende Menge?
Beweis zur Menge:
A = B genau dann, wenn A ∪ B = A ∩ B?
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Bei Äquivalenzen ist es oft sinnvoll, dass du zuerst die Implikation von links nach rechts ("=>"), und dann die von rechts nach links ("<=") zeigst.
"=>" Solltest du selbst zeigen können.
Für "<=" kannst du zum Beispiel zuerst annehmen, dass A ≠ B gilt, und dann folgern, dass die Rechte Seite dann auch nicht gilt. Du kannst oBdA annehmen, dass es ein Element x gibt, sodass x in A liegt, jedoch noch in B. Nutze dann die Definition von der Vereinigung und dem Schnitt, um zu folgern, dass die Beiden resultierenden Mengen nicht gleich sein können.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
Von links nach rechts trivial.
Von rechts nach links: Sei also A ∪ B = A ∩ B. Zu zeigen: A = B
Sei x aus A, dann ist x aus A ∪ B, also n.V. x aus A ∩ B, also x aus B. D.h. A ist Teilmenge von B.
Genauso zeigt man dass B Teilmenge von A ist.
Also muss A = B sein.