Betrag berechnen?
Hallo,
ich muss den Betrag von z ausrechnen. Im Bild steht die genaue Aufgabe plus 3 Lösungswege von mir. Ich würde gerne wissen, welche von denen das richtige Ergebnis liefert. Falls keine der drei Lösungwege stimmen sollten, wäre ich für eine Lösung sehr dankbar.
5 Antworten
Für eine komplexe Zahl z mit dem Realteil a und dem Imaginärteil b gilt:
|z| = √(a² + b²)
Um die Zahl zuerst einmal in Real- und Imaginärteil eindeutig unterteilen zu können, musst Du das i im Nenner des Bruchs loswerden, indem Du mit (2 - i) erweiterst, damit Du danach die dritte binomische Formel anwenden kannst, wobei i² zu reell -1 wird. Dann kannst Du einfach durch Ausklammern Real- und Imaginärteil "spalten".
Lösungsweg 2 ist korrekt!
Das kannst Du durch eine Gegenrechnung (klingt wie Grundschule, funktioniert aber auch tadellos bei komplexeren Aufgaben) auch einfach bestätigen:
Ergebnis: |z| = 1 bei a = 0,8 und b = -0,6
Gegenrechnung:
1 = √(0,8² + (-0,6)²)
1 = √(0,64 + 0,36)
1 = √1
✓
Bei den beiden anderen Lösungswegen geht die Gegenrechnung nicht auf!
Bei Fragen einfach fragen.
LG Willibergi
z = (2 / (2 + i)) - i / 5
Dafür kann geschrieben werden :
z = (2 + 0 * i) / (2 + i)) - (1 / 5) * i
Es gibt folgendes :
(a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i
mit
k = c ^ 2 + d ^ 2
u = (a * c + b * d) / k
v = (b * c - a * d) / k
Also :
a = 2 und b = 0 und c = 2 und d = 1
k = 2 ^ 2 + 1 ^ 2 = 5
u = (2 * 2 + 0 * 1) / 5 = 4 / 5
v = (0 * 2 - 2 * 1) / 5 = - 2 / 5
Also :
z = (4 / 5) - (2 / 5) * i - (1 / 5) * i
z = (4 / 5) - (3 / 5) * i
Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt jetzt folgendes :
z = s + p * i
|z| = √(s ^ 2 + p ^ 2)
Auf dein Beispiel angewendet also :
|z| = √((4 / 5) ^ 2 + (- 3 / 5) ^ 2) = √((16 / 25) + (9 / 25)) = 1
Jeder deiner Lösungen auf deinem Bild, die als Ergebnis nicht 1 raus hat, ist falsch.
*Jede deiner Lösungen ...
Deutsch am Morgen bringt Kummer und Sorgen ;-))
Hallo,
Lösung 2 ist richtig.
Du erweiterst den ersten Bruch mit (2-i)/(2-i), um das i aus dem Nenner zu bekommen (dritte binomische Formel).
Dann bekommst Du
[2*(2-i)]/[(2+i)*(2-i)]-i/5=(4-2i)/(4-i²)-i/5=4/5-2i/5-i/5=4/5-i*3/5
Betrag ist die Wurzel aus (16/25+9/25)=Wurzel (25/25)=Wurzel (1)=1
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo Denn0,
dein Lösungsweg 2 führt zwar zum richtigen Ergebnis, ist aber nicht ganz richtig. Siehe auch Antwort von DepravedGirl und Willy1729.
Richtig muss man so rechnen:
Aus z = 2/(2+i) - (i/5) entsteht durch Erweiterung des vorderen Ausdrucks mit (2-i)/(2-i) die Beziehung z = 0,8 - 0,6i (ist nicht IzI !), wie von dir gerechnet.
Der Betrag von z = x + iy ist allgemein IzI = Wurzel(x² + y²), im vorliegenden Fall also:
IzI = Wurzel(0,8² + (-0,6)²) = Wurzel(0,64 + 0,36) = Wurzel(1) = 1
Es grüßt HEWKLDOe.
L3 hätte ich gesagt bin mir auch mit dem vorzeichen net sicher gib es halt mal in einem komplexe zahlen rechner ein