Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst die Augensumme 5 auftritt.?
Aufgabe:
Zwei Würfel werden geworfen, bis entweder die Augensumme 5 oder 7 auftritt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst die Augensumme 5 auftritt.
Ich habe tatsächlich keinen Ansatz, weil ich nicht weiß, wie man die Wahrscheinlichkeit bei einem potenziell unendlich langen Experiment berechnet werden soll...
Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus :)
4 Antworten
Hi,
Summe 5:
(1;4)
(2;3)
(3;2)
(4;1)
P = 4 / 36
Summe 7:
(1;6)
(2;5)
(3;4)
(4;3)
(5;2)
(6;1)
P = 6 / 36
Summe 5 oder 7:
6 / 36 + 4 / 36 = 10 / 36
10/36_________ 100%
4/36 ___________x %
x = 40% (die Wahrscheinlichkeit dass Summe 5 auftritt.
Bin mir nicht sichert ob es so gemeint ist, aber plausibel wäre es so!
LG,
Heni
Die Würfe bis zum Ereignis (5 oder 7) kannst Du einfach weglassen.
Für die 5 gibt es 4 von 36 Möglichkeiten, für die 7 gibt es 6 von 36.
Also p(5)=1/9 und p(7)=1/6
Die Wahrscheinlichkeit für p(5 oder 7) ist 1/9 +1/6 =5/18
(1/9) / (5/18) sind 2/5 für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Hallo,
Wahrscheinlichkeit für Augensumme 5 ist 1/9, denn vier von 36 Kombinationen haben die Augensumme 5 (1+4, 2+3, 3+2 und 4+1).
Entsprechend tritt die Augensumme 7 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/9 auf.
Die Wahrscheinlichkeit für eine andere Augensumme als 5 oder 7 ist also
1-1/9-1/6=13/18.
Das führt zu einem Baumdiagramm mit jeweils drei Verästelungen:
5, 7 oder etwas anderes.
Beim ersten Wurf 5 bedeutet p=1/9.
Beim zweiten Wurf 1/9 bedeutet (13/18)*(1/9), denn zum zweiten Wurf kommt es nur, wenn der erste weder eine 5 noch eine 7 war.
Entsprechend beim dritten: (13/18)²*1/9, denn die 7 soll ja nicht vor der 5 erscheinen.
Das führt zu der unendlichen Summe
1/9+(1/9)*(13/18)+(1/9)*(13/18)²+...+(1/9)*(13/18)^n.
1/9 kannst Du ausklammern:
(1/9)*(1+13/18+...+(13/18)^n).
sn=(1/9)*(1+13/18)+...+(13/18)^n)
9*sn=(1+13/18+...+(13/18)^n)
9*(13/18)sn=(13/2)sn=(13/18+...+(13/18)^n+(13/18)^(n+1))
9*sn-(13/2)sn=(5/2)sn=(1-(13/18)^(n+1)), alle anderen Summanden heben sich auf.
sn=(2/5)*1=2/5.
Die Summe und damit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zuerst die 5 als Augensumme auftaucht, geht damit gegen 2/5=40 %.
Herzliche Grüße,
Willy
Theoretisch sind die ganzen Fehlersuche unerheblich, denn es geht nur darum, dass die 5 vor der 7 auftritt. Und das ist eine 50/50 Chance.
Das gilt natürlich nur, wenn es sich nicht um herkömmliche Würfel handelt, sondern tatsächlich um spezielle Würfel, bei denen die Augenzahl 7 nicht nur existiert, sondern auch genauso wahrscheinlich wie die 5 ist
Die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 ist allerdings größer als die für 5.