Wie bestimme ich die Menge aller Punkte in denen f stetig ist?

Bestimme Menge aller Punkte in denen f stetig ist

ƒ : ℝ² → ℝ

f(x,y) = { (x² + y²) arctan(1x−y \frac{1}{x - y} x−y1​) falls x ≠ y

f(x,y) = { 0 falls x = y

Problem/Ansatz:

Nun, ich würde sagen, dass isoliert betrachtet f in x=y und x=/=y stetig ist. Nun würde ich die kritische Stelle überprüfen und gucken ob die Funktion für x=/=y gegen den Funktionswert an der kritischen Stelle konvergiert.

Aber hier ist dies ja keine einzelne Stelle? Das wäre ja eher eine Gerade durch den Ursprung.

Mal abgesehen davon, wüsste ich nicht wie ich das nachprüfen soll. Wenn x=y wäre, würde der arctan gegen π/2 streben, aber was bringt mir das wenn x und y beliebig sind?

Answer 1

[eterneladam]

Wenn x-y gegen Null geht, dann geht das Argument des arctan gegen unendlich (ausser vielleicht im Fall dass x und beide gegen Null gehen). Der arctan hat eine Polstelle in Pi/2.

Answer 2

[eterneladam]

Deine Notation ist schwierig zu lesen, ich nehme an, es soll heissen

(x^2 + y^2) arctan( |x−xy/(x - y)−y| ​)

Du musst tatsächlich die Punkte auf der Geraden x=y untersuchen. Wenn du x=y=x0 festhältst, dann untersuchst du Stetigkeit in diesem Punkt. Und wie du schon festgestellt hast, strebt dann der Wert des arctan gegen π/2, ausser vielleicht in x=y=0, den Punkt müsste man noch genauer untersuchen.

Comments

[PharukiDesu]

Wieso strebt arctan gegen Pi/2 ?? also ich komme irgendwie nicht drauf ?