Beschreiben eines Wachstumsprozesses mit der e-Funktion?
Hallo, ich schreibe in einigen Tagen eine Matheklausur und habe jetzt ein Problem fetsgestellt. Ich habe bis dahin auch keinen Unterricht mehr, ansonsten würde ich die Lehrerin fragen und habe auch schon ein paar Klassenkameraden gefragt aber keiner konnte helfen:/ Ich muss den Wachstumsprozess einer Insektenpopulation beschreiben (Anfangsbestand 38, wöchentliche Zunahme von 16,2%) und eigentlich würde ich jetzt eine "normale" Exponentialfunktion aufstellen, dort steht aber ich soll dies mithilfe der e-Funktion machen. Meine Frage ist jetzt ob das einen Grund hat, dass man die e-Funktion benutzen muss und wie das mit der Aufgabe dann aussehen würde? Danke an alle, die sich die Zeit nehmen:)
2 Antworten
Beide Formen sind gleichwertig:
N(t) = No • 2^(t/T) = No • e^(t/τ)
T = Halbwertszeit bzw. Verdopplungszeit
τ= Zeitkonstante
Umrechnung
2^(t/T) = e^(t/τ) || ln
ln(2) • (t/T) = t/τ
τ = T/ln(2) = 1,443 • T
Für Dein Beispiel ist No = 28 und N(t=7d) = 1,162 • No
1,162 = e^(7d/τ)
τ = 7d/ln(1,162) = 46,62d
Hier noch einen Link
http://www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Exponentielles-Wachstum
Exponetialfunktion f(x)=a^x
mit der Basis a=e=2,7.. ergibt f(x)= e^(b*x) mit c=b*x
c=positiv "exponetielles Wachstum"
c=negativ "exponetielle Abnahme"
allgemein N(x)=No*e^(b*x) hier No=38 Insekten
N(1)=No+No/100%*16,2%)=N0*(1+0,162)=No*1,162 mit x=1 (1 Woche)
gleichgesetzt ergibt No*1,162=No*e^(b*1)
1,162=e^b logarithmiert
ln(1,162)=b ergibt b=0,150...
gesuchte Funktion N(x)=38 *e^(0,150*x)
Hinweis : beim radioaktiven Zerfall ergibt sich die Formel N(t)=No*e^(-b*t)
No =zerfallsfähige kerne zum Zeitpunkt t=0
b=Zerfallskonstante ,abhängig vom Material
Bei dieser Aufgabe hätte als Basis a gereicht. Hier wurde die Aufgabe etwas schwerer gemacht,weil man als Basis e verlangte.
Man kann diese beiden Basen auch umrechnen.
y1=a^x und y2=e^c gleichgesetzt y1=y2 ergibt a^x=e^c logarithmiert
ln(a^x)=x*ln(a)=c
also a^x=e^(ln(a)*x)