Begründung für folgende Mathematik-Aussagen:)

Hallo Leute:)

In letzter Zeit beschäftige ich mich sehr stark mit dem Thema Mathematik. Es fasziniert mich total und ich habe mich mit den folgenden Aussagen auseinander gesetzt.

1. Ein Dreieck, in dem eine Höhe zugleich Winkelhalbierende ist, ist gleichschenklig.

2. Ein Dreieck, in dem der Umkreismittelpunkt zugleich Inkreismittelpunkt ist, ist gleichseitig.

3. Ein Dreieck, in dem eine Mittelsenkrechte zugleich Seitenhalbierende ist, ist gleichschenklig.

Stimmen diese Aussagen und wenn ja, warum? Ich begreife es nicht so wirklich, möchte aber gerne an meinem Matheniveau arbeiten.

Danke schonmal, brokkoligsischd:)

Answer 1

[psychironiker]

Stimmt alles, alles mit Kongruenzsätzen beweisbar.

zu (1) siehe MarcusTullius. Ich denke allerdings, dass er den Kongruenzsatz wsw benutzt (und nicht sws, wie er schreibt).

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zu (2)

• Dreiecke ABC
• S Umkreis- = Inkreismittelpunkt.
• Mc Seitenmitte der Seite c
• Mb Seitenmitte der Seite b

Da S Umkreismittelpunkt (und daher Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der drei Seiten) ist, ist Winkel SMcA = 90° = Winkel AMbS.

Da S Inkreismittelpunkt (und daher Schnittpunkt der drei inneren Winkelhalbierenden) ist, ist Winkel McAS = α/2 = Winkel SAMb.

Da die rechtwinkligen Dreiecke SAMc und ASMb die Hypotenuse AS und α/2 gemeinsam haben, sind sie kongruent. Also ist AMc = AMb.

Die Überlegung lässt sich für die benachbarten Hälften zweier beliebiger Seiten anstellen. Da diese jeweils gleich lang sind, auch die Seiten insgesamt, q.e.d.

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zu (3)

• Dreieck ABC
• Mc Mitte der Seite c
• McC Seitenhalbierende der Seite c
• (McC) Mittelsenkrechte von der Seite c

Die Dreiecke CAMc und BCMc habe die Seite McC, die Seite AMc bzw. McB sowie den von beiden eingeschlossenen rechten Winkel gemeinsam, sind also mit sws kongruent. Mit CA = BC folgt die Behauptung.

Comments

[MarcusTullius]

Arg, hatte ich doch den richtigen im Kopf und dann den falschen hingeschrieben... sorry.

Answer 2

[ZyrranM]

Ich versuche hier nur eine Antwort für die 1. These zu nennen:

Um das zu verstehen, ist es wichtig zu wissen was eine Winkelhalbierende und die Höhe eines Dreiecks sind. Die Höhe eines Dreiecks ist einfach die kürzeste Strecke von der Grundseite zur "Ecke" des Dreiecks, also eine Senkrechte von der Grundseite zur "Ecke".

Ist diese Höhe nun zugleich eine Winkelhalbierende, ist klar, das das Dreieck gleichschenklig ist, dar:

Durch die Winkelhalbierende (=Senkrechte) werden zwei kleine Dreiecke geschaffen, welche beide einmal 90° und die hälfte des Winkels haben, welcher durch die Winkelhalbierende geteilt wird. Und da jedes Dreieck eine Winkelsumme von 180° hat, ist die Gleichung zur Bestimmung des restlichen Winkels der beiden Dreiecke identisch:

180° - 90° - halbierter Winkel = Winkel eines Schenkels

Wenn du dieses Prinzip verstanden hast, sollte auch klar sein das These 3 ebenfalls stimmt, funktioniert ähnlich.

Es tut mir leid, wenn dies nicht verständlich ist, es ist nicht so einfach dies nur mit Worten zu erklären ;)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – 2 Master of Science Abschlüsse / aktuell Doktorand

Answer 3

[MarcusTullius]

1. ist richtig, aber das müssten wir jetzt noch mathematisch beweisen. Nur, um das kurz anzureissen. da ja die Höhe im 90Grad-Winkel auf einer der Seiten steht und sie in dem Fall auch Winkelhalbierende ist, ergeben sich 2 gleiche Winkel an der "Spitze" der Höhe. Dadurch (und durch den 90Grad-Winkel der Höhe) ergeben sich 2 kongruente Dreiecke, die durch SWS gleich lange Schenkel haben --> gleichschenklig
2. Da bin ich mir nicht sicher, auch das liefe auf mathematische Beweise hinaus. (Der mir an dieser Stelle zu mühsam ist ^^;)

Insgesamt sind das schon eine etwas gehobener Mathematik, zu der du die Axiome (feststehende, da nicht beweisbare Grundaussagen) benötigst. Um ehrlich zu sein, ist mir das anfangs auch sehr schwer gefallen, mich da überhaupt reinzudenken, aber das nur am Rande.

Hier in dem Rahmen mathematische Beweise sauber darzustellen, halte ich für äusserst schwer bis unmöglich. ^^;

Comments

[MarcusTullius]

Eigentlich gehts dir ja um die schöne Welt der Mathematik. Für mich als (noch nicht ganzen) Lehrer ein gefundenes Fressen. MUHAHA

Eventuell ist der folgende Link für dich nützlich, um noch so einiges zu entdecken, was dich interessiert, allerdings kenne ich deinen "Backround" nicht, so dass eventuell sehr vieles auch unverständlich erscheint. Lass dich davon aber bitte nicht entmutigen:

http://wikis.zum.de/geometrie/Hauptseite

Falls ich nochmal nachgucken soll nach Literatur etc., gib einfach Bescheid via Freundschaftsanfrage (die kannste ja dann später auch wieder löschen).

Viel Spaß noch mit Mathe. ;)

Answer 4

[gh7401]

Du bist schon auf dem Weg. Und willst an deinem Niveau arbeiten. Nun kommt der dazugehörige Schritt: Du selbst musst einen Beweis finden, der vor dir selbst bestehen kann, dass das so ist.

Zuerst hast du gesehen, dass da etwas Besonderes ist. Das merken die Meisten überhaupt nicht. Dann hast du eine Vermutung, wie sich das verhält. Und ab jetzt versuchst du, einen stichhaltigen Beweis für diese Vermutung zu finden. Die kannst du dann als "Satz" festhalten.

Deine eigene geistige Leistung ist hier wichtig. Du musst selbst einen Weg finden.

Answer 5

[seli100]

1. Stimmt, da die Höhe die Winkelhalbiert, logisch ---> dann gleichschenklig ( der winkel ist nun die hälfte auf beiden sieten gleich groß. die anderen gegenüberliegenden winkel müssen dann auch gleich groß sein, da ein Dreieck immer 180 Grad hat.
2. weiß ich nicht genau 3.